线性系统理论

线性系统理论曲延滨第二章线性系统的时间域理论第2章线性系统的运动分析进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。分析分为定量分析和定性分析。定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。第二章状态方程为：运动分析的实质定性分析：对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等，进行定性000()()(),,xAtxBtuxtxttt分析。0,(0),0xAxBuxxt或2.1引言第二章的解。数学：给定初始状态和外输入作用，求解出状态方程分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，为系统的实际运动过程作出估计。u0x由初始状态和外输入作用所引起的响应。系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形定的。态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决状态方程的解给出了系统运动形态对系统的结构和参数()xt的依赖关系。第二章解的存在性和唯一性条件状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动()At分析才有意义。时变系统而言，矩阵和的所有元在时间定义区间上均为的实值连续函数，而输入的元在时间定义区间上是连续实函数，则其状态方程的解存在且唯一。这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观()Bt()utt()xt0,tt0,tt点而言，条件太强了，将其减弱为：第二章即：()At①的各元在上是绝对可积的，0(),,1,2,,tijtatdtijn()ijat0,tt即：()Bt②的各元在上是平方可积的，02(),1,2,,,1,2,,tiktbtdtinkp()ikbt0,tt即：()ut③的各元在上是平方可积的，02(),1,2,,tktutdtkp()kut0,tt第二章②和③等价于的元在区间上绝对可积。()()Btut000112221()()()()ptikktkpttikkttkbtutdtbtdtutdt利用许瓦兹不等式有0,tt对于线性定常系统：系数矩阵A和B均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。第二章线性系统满足叠加原理000(),(),,xAtxxtxttt零输入响应和零状态响应运动。初始状态自由运动。在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分输入作用强迫运动。自由运动：系统的自治方程00(;,,0)ttx的解，，零输入响应。第二章强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程000()(),(),,xAtxBtuxtxttt0(;,0,)ttu的解，，零状态响应。00000(;,,)(;,,0)(;,0,)ttxuttxttu系统响应：第二章00,,(0),0uxAxxxt零输入响应自治方程：nnnnxn2.2线性定常系统的运动分析其中，为维状态向量，A为常阵。的矩阵函数：220112!!AtkkkeIAtAtAtk称为矩阵指数函数。第二章0limAtteI所描述的线性定常系统的零对线性定常系统的零输入响应结论1基本性质矩阵指数函数的性质和计算方法输入响应的表达式为：0,(0),0xAxxxt00(;0,,0),0Attxext①第二章t()AtAtAAAteeeee②令和为两个自变量，则必成立Ate1()AtAtee③总是非奇异的，且其逆为nnAFFA④设有常阵A和F，如果A和F是可交换的，即，则必成立()AFtAtFtFtAteeeee第二章t①AteAtAtAtdeAeeAdt⑤对的导数为：计算方法：()(),0,1,2,AtmAmteem2233112!3!AteIAtAtAt⑥对给定方阵A，必成立：第二章则在定出使A实现对角线化11nAPPP②如果系统矩阵A的个特征值为两两相异，n12,,,n的变换阵及其逆阵后，1P11nAteePPe有第二章11112210000100000000010000AQQ11111122222!10000000000000000tttettAttttteteteteeQQeetee第二章即③把表为的一个多项式，(0,1,,1)kAkn对于A的特征值为两两相异的情况，Ate121210111211222211()1()1()1nntntntnnnntetete1011()()()AtnnetItAttA可按下式计算。12,,,n011(),(),,()nttt第二章④对给定常阵A，先求出预解矩阵，则有nn11()AteLsIA1()sIAu零状态响应给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程,(0)0,0xAxBuxtx其中，为维状态向量，为维输入向量，A和B分nnpnnp别为和常阵。第二章结论2：零状态响应的表达式为：证：考虑如下的显等式：()0(;0,0,)(),0tAttueBudt()()AtAtAtdddtdtAtAtexexexexAxeBut0()(0)()tAtAextxeBud对上式从0至t进行积分，得到第二章，等式两边左乘，得证毕(0)0xAte0()0(;0,0,)()()tAtAtAttueeBudeBud如，而，则0()00(;,0,)(),tAttttueBudtt0tt00t第二章线性定常系统的状态运动规律0xu同时考虑初始状态和外输入作用的线性定常系统的状态运动规律，即状态方程的一般形式，0,(0),0xAxBuxxt()000(;0,,)(),0tAtAttxuexeBudt结论3：或00()()0000(;,,)(),tAttAttttxuexeBudtt第二章物理含义：系统的运动由两部分组成，控制输入作用下的受控项。初始状态的转移项。2.3线性定常系统的状态转移矩阵由初始状态引起的运动，由输入作用引起的运动，都是一状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。定义：对于给定的线性定常系统00,(0),xAxBuxxtt第二章则零输入响应的表达式为：000()(),(0),ttAttItt0()00(),Attttett00(;0,,0)(),0txtxt()(),0Attetx其中，为维状态向量，称满足如下的矩阵方程：n0()ttnn的解阵为系统的状态转移矩阵。00000(;,,0)(),ttxttxtt第二章物理意义：就是将时刻之状态映射到时刻在定义时间区间内决定了状态向量的自由运动。之状态的一个线性变换。0()tt用状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式0t0xt000(;0,,)()()(),0ttxutxtBudt000000(;,,)()()(),ttttxuttxtBudttx第二章状态转移矩阵的性质①(0)I②100()()tttt③202110()()()tttttt④2121()()()tttt⑤()()mmtt⑥由A唯一地确定。满足唯一性。0()tt第二章脉冲响应矩阵具有个输入端和个输出端的线性定常系统，系统具有零初始状态，令在时刻加于第个输入端一个单位脉冲函数，而其他输入端的输入为零，用表p2.4线性定常系统的脉冲响应矩阵qj()t示第个输出端在时刻的脉冲响应。()ijgt以脉冲响应，it(),(1,2,,;1,2,,)ijgtiqjp为元所构成的矩阵。qp第二章数来逼近，即表为：称为系统的脉冲响应矩阵。111212122212()()()()()()()()()()ppqqqpgtgtgtgtgtgtGtgtgtgt假定系统的输出在输入加入之前的所有瞬时为零：和()0Gt当输入向量的元为任意形式的时间函数时，用一系列脉冲函t第二章如令输出为：()(),1,2,,jjkkkuuttttjp则()()()kkkytGttutt0t00()()(),ttytGtudtt00t则0()()(),0tytGtudt第二章作自变量置换tutu通常称为卷积。0()()()0tytGutdt00()()()()()()ttytGuutuduGuutudu第二章脉冲响应矩阵和状态空间描述结论1：脉冲响应矩阵为000(),xAxDuxtxttyCxDu()()()AtGtCeBDt其中，A,B,C和D分别是，，，qnnpnnqp的实值常阵。或()()AtGtCeBDt第二章结论2：()(),()AtAtetet则()()()GtCtBDt()()()GtCtBDt结论3：两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵。11,,,APAPBPBCCPDD代数等价：第二章结论4：两个代数等价的线性定常系统的输出的零状态响应ˆ()Gs和零输入响应相同。()Gt脉冲响应矩阵和传递函数矩阵结论：用和分别表示给定的线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵，则两者之间成立如下的关系式：和ˆ()(),0GsLGtt1ˆ()(),0GtLGst第二章一定相同，则此两系统具有相同脉冲响应矩阵（即相同传递函数矩阵）的充分必要条件是：DD(,,,)ABCD(,,,)ABCD推论：给定两个线性定常系统和设两者具有相同的输出和输入维数，但它们的状态维数可不,0,1,2,iiCABCABi和第二章证：()()GtGt11()()CSIABDCSIABD或ˆˆ()(),GsGs当且仅当11223()SIAISASAS则12231223CBSCABSCABSDCBSCABSCABSDs对任意均成立，当且仅当DD,0,1,2,iiCABCABi和证毕。第二章状态转移矩阵时变系统：其中，为维状态向量，为维输入向量，为维输(),(),()AtBtCt2.5线性时变系统的运动分析qy000()(),(),,xAtxBtuxtxttt()()yCtxDtu出向量，和分别为xnup()Dt,nn和的时变实值矩阵。,npqnqp第二章则满足如下矩阵微分方程和初始条件的解阵为系统的状态转移矩阵。线性时变系统的运动规律0000(,)()(,),(,)ttAtttttI结论：线性时变系统由初始状态和输入作用同时引起的状态nn运动规律表达式0(,)tt000000()(;,,)(,)(,)()(),,ttxtttxuttxtBudttt第二章零输入响应为：00000(;,,0)(,),,ttxttxttt零状态响应为：000(;,0,)(,)()(),ttttutBudttt第二章则输出响应有：(,)()(,)()()()Gt