解直角三角形培优专练

第1页（共16页）解直角三角形培优专练一．选择题（共5小题）1．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A．0组B．一组C．二组D．三组2．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．3．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠AOB：∠AOD=1：2，且BD=12，则DE的长度是（）A．3B．6C．6D．3第2页（共16页）5．如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A．（﹣1）小时B．（+1）小时C．2小时D．小时二．填空题（共5小题）6．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）7．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为海里（取，结果精确到0.1海里）．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．第3页（共16页）9．如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为．10．在Rt△ABC中，∠C=90度．若sinA=，则sinB=．三．解答题（共5小题）11．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）12．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．（1）当α=30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．第4页（共16页）13．如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物EF是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC上的点，BD=10．∠ADC=60°．求AC（≈1.73，结果保留整数）．15．在△ABC中，∠B是锐角，AD是BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB是方程10x2﹣3x﹣4=0的一个根．（1）求线段CD的长；（2）求tan∠EDC的值．第5页（共16页）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2015•江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A．0组B．一组C．二组D．三组【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB=即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．故选D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．2．（2013•攀枝花模拟）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．【考点】解直角三角形．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．第6页（共16页）根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．3．（2012•余姚市校级自主招生）一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据余弦定理，求出最小角的余弦值，建立相等关系，解方程即可．【解答】解：余弦定理：a，a，b中最小内角为边b所对，cosx=b，b，a中最小内角为边b所对，cosy=∵x=y，∴=解方程得：=．故选B．第7页（共16页）【点评】本题的关键是根据余弦定理，利用两三角形中有一个等角，建立等式，解方程求值．4．（2012•深圳校级模拟）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠AOB：∠AOD=1：2，且BD=12，则DE的长度是（）A．3B．6C．6D．3【考点】解直角三角形；矩形的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】由已知条件可分析得出∠COD=60°，OD=6．解直角三角形ODE即可得出DE的长度．【解答】解：在矩形ABCD中∵∠AOB：∠AOD=1：2，且BD=12∴∠COD=60°，OD=6∵DE⊥AC∴DE=OD•sin60°=3．故选D．【点评】考查了矩形的性质以及解直角三角形的简单应用．5．（2013•武汉模拟）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）第8页（共16页）A．（﹣1）小时B．（+1）小时C．2小时D．小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D．根据三角函数的定义，在Rt△ADM中可得AD=MD，在Rt△BDM中可得BD=MD，根据垂径定理可得BC=2MD，依此求出BC：AB的值即可求解．【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，∴AD=MD，在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，∴BD=MD，∴BC=2MD，∴BC：AB=2MD：（﹣1）MD=2：+1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（+1）小时．故选B．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题关键是得到AD=MD，BC=2MD．二．填空题（共5小题）6．（2013•大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为15.3m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BCD中求出BC，继而可得出AB．【解答】解：在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，则AC=CD≈36.3m；在Rt△BCD中，∠DBC=45°，则BC=CD=21m，故AB=AC﹣BC=15.3m．故答案为：15.3．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度．第9页（共16页）7．（2013•泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为67.5海里（取，结果精确到0.1海里）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．【解答】解：∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，设DE=x，则AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）．故答案为：67.5．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．第10页（共16页）8．（2013•崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据题意知：将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，C1点恰好在斜边AB上，根据角之间的关系可知∠ADC1=∠ABC，根据锐角三角函数的定义即可解答．【解答】解：∵∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，∵将△BCD沿着直线BD折叠，∴C1点恰好在斜边AB上，∴∠DC1A=90°，∴∠ADC1=∠ABC，∵AB=5，AC=4，∴sin∠ADC1=．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及翻折变换（折叠问题）．解题时利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．（2013•大连模拟）如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为4．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】由于cos∠BDC=，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平