高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，AxxxBxax||22301若，则实数的值构成的集合为BAa3.注意下列性质：（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212aaann要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2,a3,……an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n个子集。当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n，非空真子集个数为22n（）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律：CCCCCCUUUUUUABABABAB，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352的取值范围。7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。如：若}4,3,2,1{A，},,{cbaB；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数有个，若}3,2,1{A，则A到B的一一映射有个。函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；10.如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()()0义域是_____________。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则的定义域为。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面.112..22222222bay型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x15、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+1x的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数y=32xx的值域12.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求fxexfxx1().15.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()fxfx与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与1()fx在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。17.函数f(x)具有奇偶性的条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）=求x＜0时f（x）判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)1偶函数f(-x)f(x)1奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减//减增减//减减增减减18.（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx0()()函数，T是一个周期。）如：若，则fxafx()我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2||(,,,fxxaxbfaxfaxfbxfbxfxfaxfaxfbxfxfbxtaxbxtbaftftbafxfxbafxbaab又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值如：19.你掌握常用的图象变换了吗？fxfxy()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(-x,y)fxfxx()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(x,-y)fxfx()()与的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)fxfxyx()()与的图象关于直线对称1联想点（x,y）,(y,x)f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2联想点（x,y）,(2a-x,y)fxfaxa()()()与的图象关于点，对称20联想点（x,y）,(2a-x,0)将图象左移个单位右移个单位yfxaaaayfxayfxa()()()()()00上移个单位下移个单位bbbbyfxabyfxab()()()()00注意如下“翻折”变换：()|()|x()(||)yfxfxfxfx把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面19.(k0)y(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a（）一次函数：10ykxbk(k为斜率，b为直线与y轴的交点)（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakOab'()的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxcaaxbaacba顶点坐标为，，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,,||||bxabcxxxxxxaaa根的关系：2212121212()()()()(mn()()()(,2()()()(,)(,)fxaxbxcfxaxmnfxaxxxxxxfxaxxxxhxhxh二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()②求闭区间［m，n］上的最值。2max(),min()2max(),min()2224min,maxmax((),())4m,n0bnffmffnabmffnffmabnmacbafffmfnaa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边（）也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况）③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakfk20020()y(a0)Okx1x2x一根大于，一根小于kkfk()00mn22()0()0mn()()0bmnafmfnfmfn在区间（，）内有根在区间（，）内有1根（）指数函数：，401yaaax（）“对勾函数”60yxkxkyOxkk利用它的单调性求最值21.如何解抽象函数问题？（