上册第一章一元二次方程复习总结

上册第一章一元二次方程复习总结1/12年级初三学科数学版本湘教版内容标题复习一元二次方程编稿老师阳矩红【本讲教育信息】一.教学内容：复习一元二次方程【教学目标】知识与技能：1.使学生理解一元二次方程的意义。2.掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。3.理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。过程与方法：体会在直接开平方法、因式分解法的探索过程中“降次转换”的基本思想。情感、态度与价值观：1.教学中培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。2.让学生在学习中充分经历和体验知识的形成与应用过程，体会数学的价值，增强学习数学的信心。教学重点：1.让学生熟练地掌握一元二次方程的四种解法。2.能运用一元二次方程知识解决生活中实际问题。教学难点：运用一元二次方程知识解决生活中实际问题。【方法指导】1.本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的一般方法，而因式分解法较方便，因此要求同学们在解一元二次方程时，应先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，然后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法后，解一元二次方程一般不用配方法，但配方法是一种很重要的数学方法，要求同学们把它学好。04)0(0.222acbacbxax有实数根一元二次方程04.322acbcbxax是完全平方式二次三项式4.同学们应学会分析和解决问题的方法，能用一元二次方程的知识解决实际问题。【主要内容】（一）本章知识结构上册第一章一元二次方程复习总结2/12实际问题一元二次方程解一元二次方程直接开平方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的应用解释、检验分析抽象数量关系（二）本章数学思想方法：1.转化思想：转化思想是分析问题、解决问题的一个重要的基本思想，如本章求根公式的推导，配方法的应用，因式分解法解一元二次方程等都体现了转化这一数学思想。2.方程思想：方程思想就是从分析问题的数量关系入手，找出相关关系，运用数学符号语言把相等关系转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，本章就是方程思想的充分体现。3.整体思想整体思想就是把问题的某些元素作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这样可以避免繁琐的运算推理，它是一种重要的数学观念，本章因式分解法解一元二次方程有时要运用整体思想来解决。4.分类讨论思想在数学中，分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学研究对象区分为不同种类的一种数学思想。本章的例题中，多次地使用了这一问题，如根的判别式的符号判定一元二次方程的根的情况。5.数学建模思想数学建模思想是指从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思想过程，它包括对实际问题进行抽象、简化、建立数学模型、求解数学模型、解释验证等步骤，如本章利用一元二次方程解决实际问题就是需要利用建模思想。（三）主要知识点1.一元二次方程的定义及解法：一元二次方程概念的学习，要抓住其本质：含有一个未知数，未知数的次数是二次，且是整式方程。它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）解一元二次方程时，首先考虑因式分解法，因为这种方法最快捷，其次考虑求根公式法，这种方法是万能的，它能求所有有实数根的一元二次方程，最后考虑配方法，因为这种方法较为复杂，但这种方法很重要，在后面的学习中要会用配方方法解决有关知识，同时这种方法常用于证明一个式子恒大于零或恒小于零，如果方程符合直接开平方的特点，就采用直接开平方法。2.根的判别式与根与系数的关系acbacbxax4)0(0122的根的判别式：）一元二次方程（上册第一章一元二次方程复习总结3/12数根方程有两个不相等的实0根方程有两个相等的实数0方程没有实数根0的两根是方程、）设（)0(02221acbxaxxxacxxabxx2121，则3.一元二次方程的应用对于列一元二次方程解应用题，关键是审清题意，发现题目中明显的或隐藏的等量关系，将其转换成数学式子，就可获得方程从而解决问题。其基本步骤有：（1）审题、明确已知量与未知量，找出等量关系。（2）设未知数，可直接设也可间接设。（3）列方程，把等量关系转化为方程。（4）解方程。（5）检验，结果是否符合实际意义。（6）写出答语。【典型例题】例1.的值。，求满足、已知实数2222222015)5(4)(yxyxyxyx分析：本题如果想分别求出x、y的值，再代入求x2＋y2的值，就有困难，因为只有一个方程，不能分别求出x、y的值，如果将x2＋y2看成一个整体，则问题较方便。解：015)5(4)(22222yxyx05)(4)(22222yxyx0)1)(5(2222yxyx0122yxyx为实数、5052222yxyx即例2.用适当的方法解下列方程：)5(2)5(34047338)4(209)1(41222xxxxxxx）（）（）（）（分析：根据方程特点选择方法。解：9)1(412x）（49)1(2x231x231231xx或252121xx，8422xx）（48442xx上册第一章一元二次方程复习总结4/1212)2(2x322x32232221xx，047332xx）（473cba，，1434)7(422acb3217x13421xx，0)5(2)5(342xx）（0]2)5(3)[5(xx013305xx或313521xx，说明：一元二次方程解法的选择，一般为直接开平方法（特定形式）→因式分解法→公式法，若没有特别说明一般不采用配方法，其中公式法是一般方法适用于任意一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解方程时比较简便。例3.试根据m的值讨论关于x的方程的根的情况。032)2(2mmxxm分析：本题没有明确方程的类别（方程的次数），应分类讨论，因此，先要对二次项系数m－2是否为0展开讨论。在m－2≠0的情况下再利用判别式来分析。解：（1）时时，即当202mm45054xx原方程为45x根即原方程只有一个实数方程时，原方程为一元二次）当（022m244)3)(2(4)2(422mmmmacb实根；，此时方程有两个不等时，得即当60244042mmacb实根；，此时方程有两个相等时，得即当60244042mmacb，此时方程没有实数根时，得即当60244042mmacb例4.若两个关于x的方程x2＋x＋a＝0与x2＋ax＋1＝0有一个公共的实数根，求a的值。分析：首先理解公共根的意义，就是同时满足两个不同方程的根，其次利用“转化”思想，利用方程的根的定义，将公共根代入两个方程，再利用方程组求a的值。解：设两个方程的公共根为x0，则20110020020axxaxx01)1(210axa得：0)1)(1(0xa上册第一章一元二次方程复习总结5/12是两个不同的方程与由条件01022axxaxx011aa即10100xx得2110ax得代入方程将例5.某工厂1998年初投资100万元生产新产品，1998年底将获得利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？分析：这道题比我们上一次讲的百分率的问题难度稍大些。因此本题两年的百分率不相同，应分别考虑，现列表分析本金年利率利润1998年100x100x1999年100+100x(x+10%)(100+100x)(x+10%)解：设1998年的年获利率为x，则56%)10)(100100(100xxx（不合题意，舍去），解得：3.22.021xx%30%10x答：1998年与1999年的年获利率分别为20%和30%。例6.某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商场可以自行定价，若每件售价a元，则可卖出（350—10a）件，但物价部门规定每件商品的加价不能超过进价20%，商场计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售多少元？分析：这是一道商品问题，我们首先应弄清基本关系：一件商品的利润＝售价－进价一批商品的利润＝一件商品的利润×销量现在根据题意，列表分析如下：一件商品的利润销售量总利润x－21350－10x400解：设每件商品应售价x元，才能赚400元400)10350)(21(xx则0775562xx整理得：312521xx，解得：％利润不能超过进价的物价局规定每件商品的202.25%)201(21（不合题意，舍去）31x100251035025时，当x答：该商店需卖出100件商品，每件商品应售价25元。例7.某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，上册第一章一元二次方程复习总结6/12已知生产x只玩具熊猫的成本为R元，售价每只熊猫为P元，且R和P与x的函数关系如下图（1）（2）：20P(元)(2)80030(1)5001020x(只)101101400R(元)150x(只)30根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）当日产量为多少只时，每日获得的利润为1750元；（2）探索：说明日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润为多少？分析：这仍然是一道商品问题，关系式仍然是总利润＝（售价－成本）×销售量，不同的是这个题目的成本与售价都是通过函数图象给出的，与上学期所学的函数知识联系起来。根据函数图象知，这两个函数都是一次函数，应注意的是R（元）为x只玩具熊猫的总成本与x的关系，P只是每只熊猫的售价与x的关系。解：根据图象可知，R、P都是x的一次函数在图象上，，点，，点故设)140030()80010(11bxkR5003014003080010111111bkbkbk解得50030xR在图象上，、，，点设)11030()15010(22bxkP17021103015010222222bkbkbk解得1702xPRPx17501）依题意，有（1750)50030()1702(xxx01125702xx整理得0)45)(25(xx452521xx，不合题意，舍去只每日最高产量为45x40元只时，每日获得利润为当日产量为175025（2）依题意，得19501950)35(25001402)50030()1702(22xxxxxxRPx总利润元时，可获得最大利润为当1950)40(35x【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题上册第一章一元二次方程复习总结7/121.若用因式分解法解方程01032xx，分解因式的结果为（）0)2)(5(.0)2)(5(.0)2)(5(.0)2)(5(.xxDxxCxxBxxA2.若122x与5242xx的值互为相反数，则x的值（）231.231.321.321.或或或或DCBA3.若分式232622xxxx的值为0，则x的值是（）3.2.23.32.DCBA或或4.如果关于x的一元二次方程02qpxx的两根分别为1321xx，，那么这个一元二次方程是（）043.034.034.043.2222xxDxxCxxBxxA5.一元二次方程0422xx