高考一轮复习专题：导数及其应用(含答案)

1导数及其应用考点一：导数概念与运算（一）知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。3．几种常见函数的导数:①0;C②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.24．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X（二）典型例题分析题型一：导数的概念及其运算例1.如果质点A按规律32st运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s变式：定义在D上的函数)(xf，如果满足：xD，常数0M，都有|()|fx≤M成立，则称)(xf是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.【文】（1）若已知质点的运动方程为atttS11)(，要使在[0,)t上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.【理】（2）若已知质点的运动方程为atttS12)(，要使在[0,)t上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.3例2.已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（）A.41B.2C.41D.－2变式1：为则设hfhffh233lim,430（）A．－１Ｂ．－2C．－3D．1变式2：00003,limxfxxfxxfxxx设在可导则等于（）A．02xfB．0xfC．03xfD．04xf例3.求所给函数的导数：332991log;;sin((1);2;2sin25nxxxyxxyxeyxyxyeyxx（文科）理科）变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,()()()()fxgxfxgx＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）A．(－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)题型二：导数的几何意义①已知切点，求曲线的切线方程；注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数()fx，并代入点斜式方程即可．例4.曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程为（）Ａ．34yxＢ．32yxＣ．43yxＤ．45yx4②已知斜率，求曲线的切线方程；注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例5.与直线240xy的平行的抛物线2yx的切线方程是（）Ａ．230xyＢ．230xyＣ．210xyＤ．210xy③已知过曲线外一点，求切线方程；此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例6.求过点(20)，且与曲线1yx相切的直线方程．变式1、已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff。变式2、5考点二：导数应用（一）知识清单1．单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值；②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ)(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4．定积分（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝nif1＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(＝ninf1lim(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0＝C；dxxm＝111mxm＋C（m∈Q，m≠－1）；x1dx＝lnx＋C；dxex＝xe＋C；dxax＝aaxln＋C；6xdxcos＝sinx＋C；xdxsin＝－cosx＋C（表中C均为常数）。（2）定积分的性质①babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；②bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；③bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中a＜c＜b)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（ab），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝babadxxfdxxf)()(21。（二）典型例题分析题型一：单调性例7.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：3232(1)()3;(2)()23;(3)()sin,(0,);(4)()23241.fxxxfxxxfxxxxfxxxx7变式1：函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）A.0,1B.8,2C.2,1D.2,0变式2：已知函数53123axxxy(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a的是.(2)若函数在),1[上是单调增函数，则a的取值范围是.变式3：设0t，点P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数)()(xgxfy在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.解：（Ⅰ）∵函数，的图象都过点（t，0），∴，即，∵t≠0，∴，∵∴，又∵，在点（t，0）处有相同的切线，∴而∴，将代入上式，得b=t，∴c=ab=-t3，故，b=t，c=-t3。（Ⅱ），∵函数在在（-1，3）上单调递减，∴在（-1，3）上恒成立，∴即，解得：t≤-9或t≥3，∴t的取值范围是8例8.设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f（x）的单调区间.解：(Ⅰ)因，所以，即当时，f′（x）取得最小值，因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，所以，解得a=±3，由题设a＜0，所以a=-3。(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，，，令f′（x）=0，解得，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，-1）上为减函数；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数，由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3）。例9.已知函数，函数的图像在点的切线方程是．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．)0(19)(23axaxxxf)(xfy612yx32()1()fxxaxbxxR()yfx(1,(1))Pf4yx()fx()fx2,3kkk9题型二：极值与最值例10.求函数31()443fxxx的极值.求函数31()443fxxx在0,3上的最大值与最小值..10变式1：函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（A）A．1个B．2个C．3个D．4个变式2：已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.变式3：若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf极值34，（1）求函数的解析式；（2）若函数kxf)(有3个解，求实数k的取值范围．abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O11例11.设函数．（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的极值点以及极值．3()3(0)fxxaxba()yfx(2,(2))f8y,ab()fx12例12.已知三次函数32()fxxaxbxc在1x和1x时取极值，且(2)4f．(1)求函数()yfx的表达式；(2)求函数()yfx的单调区间和极值；例13.已知函数))1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围1314题型三：导数综合运用①导数单调区间、极值、最值在选择题中的应用例14.（1）.已知函数的导函数的图像如下，则（A）A．函数有1个极大值点，1个极小值点B．函数有2个极大值点，2个极小值点C．函数有3个极大值点，1个极小值点D．函数有1个极大值点，3个极小值点（2）、已知函数()yxfx的图