椭圆双曲线练习卷(含答案)

高二数学练习卷一（椭圆、双曲线）班级姓名一、填空题1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都在坐标轴上，过点(3,0)A，则椭圆的方程是2219xy或221981xy．2．双曲线的渐进线方程为xy21，且焦距为10，则双曲线方程为221205xy或221520yx3．与圆22(3)1xy及圆22(3)9xy都外切的圆的圆心轨迹方程为22118yxx．4．过点（2，-2）且与双曲线22xy2=1有相同渐近线的双曲线方程是22124yx5．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的标准方程是2218020xy。6．若方程axay31lg22表示两个焦点都在x轴上的椭圆，则a的取值范围是31101a.7．已知椭圆19822yax的离心率21e，则a的值等于544或-．8．椭圆221123xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么1||PF=732．9．已知点P在双曲线22259xy=1上,满足|PF1|=12，则|PF2|=2或22.10．双曲线1422kyx的离心率(1,2)e，则k的取值范围是(4,0)11.已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是xy4312．曲线C的方程为431222ykxk（Rk），当1k时，曲线C为圆；当k1,11,3时，曲线C为椭圆；当k3,13,时，曲线C为双曲线；当1k或3k时，曲线C为两直线.13．P是椭圆14522yx上的一点，1F和2F是焦点，若1230FPF，则12FPF的面积等于84314．双曲线116922yx的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为165.15．过点(0,3)作直线l，如果它与双曲线13422yx有且只有一个公共点，则直线l的条数是4条．16．设P是直线4yx上一点，过点P的椭圆的焦点为1(2,0)F，2(2,0)F，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为161022yx．17．以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，kPBPA||||，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若),(21OBOAOP则动点P的轨迹为椭圆；③方程02522xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222yxyx与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）18．若椭圆)0(122nmnymx和双曲线)0(122babyax有相同的焦点21,FF，P是两条曲线的一个公共点，则21PFPF的值是ma。二、解答题19．求经过椭圆x2+2y2=4的左焦点且倾斜角为3的直线教椭圆于A、B两点，求弦AB的长度。长度为：16720．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．椭圆和双曲线的方程为：1364922yx，14922yx或1364922xy，14922xy21．已知定圆C的方程是100)4(22yx，定点A的坐标是（4，0），P为圆C上的一个动点，线段AP的垂直平分线与半径CP交于点Q，求点Q的轨迹方程。解答：如图，设Q点的坐标是（x，y）。连接QA。∵QM垂直平分线段AP,∴|QP|=|QA|，∴|QC|+|QA|=|CP|=10，∴Q点的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，轨迹方程是192522yx。22．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少？此题因需用到圆锥曲线第二定义可暂时不做23．已知12,FF是椭圆2245200xy的两个焦点，过原点作弦AB，求2FAB面积的最大值。解：方程化为22154xy．2121yycS．因为12yy的最大值就是当,AB分别在短轴端点时取到，所以12yy的最大值就是４．所以2maxS．24．点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于||MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)设点P(x,y),则AP={x+6,y},FP={x－4,y},由已知可得22213620(6)(4)0xyxxy则22x+9x－18=0,x=23或x=－6.由于y0,只能x=23,于是y=235.∴点P的坐标是(23,235)(2)直线AP的方程是x－3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m.于是26m=6m,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有222222549(2)4420()15992dxyxxxx,由于－6≤m≤6,∴当x=29时,d取得最小值1525．椭圆11222mymx与双曲线01222nynx有公共焦点21,FF，P是两曲线的一个交点，求21PFF的面积。解答：由椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，由椭圆和双曲线的定义可知2222212121212.,2,2nmPFPFnmPFnmPFnPFPFmPFPF解得。椭圆11222mymx与双曲线01222nynx有公共焦点，∴22211cnm∴222122222221||21124||PFPFnmnmcFF，∴11,22221nmPFF又，即222nm，∴21PFF的面积121212221nmPFPF。26．直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点，（1）当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？（2）当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？解：由13122yxaxy得：022322axxa（※），∴0)3(8)2(03222aaa，得当66a且3a时，直线与双曲线交于两点，设),(11yxA、),(22yxB（1）由032221axx，得：33a.（2）以AB为直径的圆过原点OBOA02121yyxx，∴0)1)(1(2121axaxxx，∴01)()1(21212xxaxxa，由（※）得，2212213232axxaaxx，∴01323)1(2222aaaaa，解得1a.27．设椭圆方程为2214yx，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足1()2OPOAOB，点N的坐标为11(,)22，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最小值与最大值.可暂时不做28．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，右准线的方程为x＝1，倾斜角为4的直线l交椭圆C于P、Q两点，且线段PQ的中点坐标为)41,21(．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的右顶点，M、N为椭圆C上两点，且|OM|、23|OA|、|ON|三者的平方成等差数列，则直线OM和ON斜率之积的绝对值是否为定值？如果是，请求出定值；若不是，请说明理由．分析第（1）可以利用待定系数法，首先设椭圆方程为)0(12222babyax，通过条件右准线的方程为x＝1和倾斜角为4的直线l交椭圆C于P、Q两点，且线段PQ的中点坐标为)41,21(，列出方程组，解出a，b；第（2）问可以先设出M，N点的坐标，将条件“|OM|、23|OA|、|ON|三者的平方成等差数列”作适当转化，即可。解答：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax①直线l的方程为2141xy，即43xy②由①②得：016923)(2222222baaxaxba设),(),,(2211yxByxA，则1)(2322221baaxx即222ba③又由C的准线方程为1x得12ca即2ac④又222cba⑤由③④⑤解得41,2122ba。∴椭圆C的方程为14222yx．（2）法一：设3344(,),(,)MxyNxy，则142,14224242323yxyx两式相加整理得：1)(224232423yyxx⑥∵|OM|、23|OA|、|ON|三者的平方成等差数列，∴|OM|2+|ON|2＝32|OA|2，又A为椭圆C的右顶点，∴|OA|2＝12，∴|OM|2+|ON|2＝43，∴43)()(24232423yyxx⑦由⑥⑦解得：212423xx，412423yy∵)41(21)41(2124232423yyxx2423242324234]16)(41[41yyyyyy∴4124232423xxyy，即|KOP·KOQ|＝21||4343xxyy为定值．法二：设3344(,),(,)MxyNxy，则k1＝33xy，1422323yx，于是2x23+4k21x23＝1，x23＝21421k，y23＝212142kk,同理，x24＝22421k，y24＝222242kk．由|OM|2+|ON|2＝32|OA|2，得4324242323yxyx，于是21421k+212142kk+22421k+222242kk＝43，即2121421kk+2222421kk＝43，解得k21k22＝41，|k1k2|＝21，为定值．法三：设M（21cosα，21sinα），N（21cosβ，21sinβ），则由|OM|2+|ON|2＝32|OA|2，得4324242323yxyx，于是21cos2α+41sin2α+21cos2β+41sin2β＝43，所以，cos2α－sin2β＝0，也是cos2β－sin2α＝0，于是41tan2αtan2β＝412222coscossinsin＝41，所以|k1k2|＝21，为定值．