空间几何量的计算.板块五.证明与计算(距离)-普通高中数学复习讲义Word版

【例1】已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，ABBC，DF，分别为ACPC，的中点，DEAP于E．⑴求证：AP平面BDE；⑵求证：平面BDE平面BDF；⑶若:1:2AEEP，求截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比．FEBDCAP【难度】6【解析】⑴∵ABBC，D为AC中点，∴BDAC又PC底面ABC，∴PCBD∵PCACC，∴BD平面PAC，∴BDAP．又DEAP，∴AP平面BDE．⑵∵DF，为ACPC，的中点，∴DFAP∥．结合⑴可知DF平面BDE．⑶∵211:323PEFPACPEPFSSPAPC，∴13BPEFBPACVV．因此两部分的体积比为1:2．【例2】如图，已知111ABCABC是正三棱柱，D是AC的中点，121ABAA，⑴证明：BD平面11ACCA，1//AB平面1BDC；⑵求点D到平面11BCCB的距离．⑶证明：11ABBC．典例分析板块五.证明与计算（距离）DCBAA1B1C1【难度】6【解析】⑴∵111ABCABC是正三棱柱，∴1CC平面ABC，四边形11BBCC是矩形．∴1CCBD．又,ABBCADDC，∴BDAC，又1ACCCC，∴BD平面11ACCA．连结1BC交1BC于O，则O是1BC的中点．连结DO．∵D、O分别是AC、1BC的中点，∴1//DOAB．又1AB平面1DBC，DO平面1DBC，C1B1A1ABCDEO∴1//AB平面1DBC．⑵取BC的中点E，连结AE，与⑴类似可证：AE平面11BCCB，故过D点作AE的平行线，交CE于F，则DF平面11BCCB，从而DF的长即为所求．∵1AB，∴32AE，又D是AC的中点，∴1324DFAE，即为点D到平面11BCCB的距离．（当然此问也可以用体积法，考虑三棱锥1DBCC的体积，其中BD平面1CDC，易求得点D到平面11BCCB的距离，具体过程略．）⑶证明：连结1BE，由⑵知AE平面11BCCB，故1AEBC，∵121ABAA，在矩形11BCCB中，11111212BCBBBBBBBEBC，EBCB1C1∴11RtCBB∽1RtBBE，从而111BCBBBE，从而111111190BCBCBBBBECBB，∴11BEBC，又1BEAEE，∴1BC平面1ABE，∴11ABBC．【例3】（2010年二模·崇文·文·题16）正方体1111ABCDABCD的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为1BB的中点．⑴求证：直线1BD∥平面AEC；⑵求证：1BD平面1DAC；⑶求三棱锥1DDOC的体积．EOC1D1CB1A1BAD【难度】6【解析】⑴连接OE，在1BBD△中，∵E为1BB的中点，O为BD的中点，∴OE∥1BD又∵1BD平面AEC，∴直线1BD∥平面AEC．⑵在正方体1111ABCDABCD中，∵1BB平面ABCD，AC平面ABCD∴1BBAC．∵BDAC且1BBBDB∴1BDAC∴1ACBD同理可证11BDAD∵1ACADA，∴1BD平面1DAC．⑶11111221333DDOCDDOCDOCVVDDS△．【例4】如图，ACD和ABC都是直角三角形，ABBC，30CAD，把三角形ABC沿AC边折起，使ABC所在的平面与ACD所在的平面垂直，若6AB．⑴求证：面ABD⊥面BCD；⑵求C点到平面ABD的距离．HABDCDCBA【难度】6【解析】⑴∵面ABC⊥面ACD，且交线为AC，DC平面ACD，DC⊥AC∴DC⊥面ABC，∴DC⊥AB∵AB⊥BC，AB⊥DC，BCDCC∴AB⊥面BCD，∴面ABD⊥面BCD⑵∵面ABD⊥面BCD且交线为BD，过C作CH⊥BD于H，则CH⊥面ABD∵6ABBC，90ABC，∴23AC，在RtBCD中，3tan302323CDAC在RtBCD中，2226210BDBCDC∴2155BCDCCHBD∴点C到平面ABD的距离为2155【例5】（2010年二模·东城·文·题17）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，4PDDC，2AD，E为PC的中点．⑴求证：ADPC；⑵求三棱锥APDE的体积；⑶AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．ABCDEP【难度】6【解析】⑴因为PD平面ABCD，所以PDAD．又因为ABCD是矩形，所以ADCD．因为PDCDD，所以AD平面PCD．又因为PC平面PCD，所以ADPC．⑵因为AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高．因为E为PC的中点，且4PDDC，所以111444222PDEPDCSS△△．又2AD，所以11824333APDEPDEVADS△．⑶取AC中点M，连结EM，DM，ABCDEPM因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以//EMPA．又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以//PA平面EDM．所以152AMAC．即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为5．【例6】已知长方体1111ABCDABCD中，棱1ABAD，棱12AA．⑴求点1A到平面11ABD的距离．⑵连结1AB，过点A作1AB的垂线交1BB于E，交1AB于F．HOABCDA1B1C1D1①求证：1BD⊥平面EAC；②求点D到平面11ABD的距离．【难度】8【解析】⑴（法一：等积法）设点1A到平面11ABD的距离为h∵111111AABDAABDVV，∴1111111133ABDABDhSAAS在11ABD中，由已知条件有115ABAD，112BD∴11221232(5)()222ABDS而12AA，111211122ABDS∴1111111222332ABDABDAAShS（法二：直接法）连结11AC交11BD于点O，则11AC⊥11BD，∵1AA⊥上底面1111ABCD，从而有1AA⊥11BD∵11AC11AAA∴11BD⊥面1AAO，又11BD面11ABD，∴面1AAO⊥面11ABD，且面1AAO面11ABDAO过1A作1AH⊥AO交AO于H，则1AH⊥面11ABD∴点1A到平面11ABD的距离即为1AH长，在1RtAAO中，由已知可得22232(5)()22AO，122AO，而12AA∴122223322AH⑵①∵长方体中棱1ABAD，∴BD⊥AC又1DD⊥底面ABCD，且AC底面ABCD，∴AC⊥1DD，从而AC⊥面1BDD∴AC⊥1BD∵11AD⊥面11AABB，且AE11AABB，∴AE⊥11AD，且AE⊥1AB∴AE⊥面11ABD，且1BD面11ABD，ABCDA1B1C1D1EF∴AE⊥1BD又∵AEACA，∴1BD⊥面EAC②∵AD∥11AD，且11AD面11ABD∴AD∥面11ABD∴点D到平面11ABD的距离可以转化为点A到面11ABD的距离又∵AE⊥面11ABD∴AF即为所求距离22125521AF【例7】（2010年一模·崇文·文·题17）三棱柱111ABCABC中，侧棱与底面垂直，90ABC，12ABBCBB，,MN分别是AB，1AC的中点．⑴求证：MN∥平面11BCCB；⑵求证：MN平面11ABC；⑶求三棱锥M11ABC的体积．NMC1B1A1CBA【难度】8【解析】⑴连结1BC，1AC，∵,MN是AB，1AC的中点∴MN∥1BC．又∵MN平面11BCCB，∴MN∥平面11BCCB．⑵∵三棱柱111ABCABC中，侧棱与底面垂直，∴四边形11BCCB是正方形．∴11BCBC．∴1MNBC．连结1,AMCM，1AMAAMC．∴1AMCM，又N中1AC的中点，∴1MNAC．∵1BC与1AC相交于点C，∴MN平面11ABC．⑶由⑵知MN是三棱锥M11ABC的高．在直角MNC中，15,23MCAC，∴2MN．又1122ABCS．11111433MABCABCVMNS．【例8】已知直三棱柱111ABCABC中，90ACB，1CB，136，CAAA，M是侧棱1CC的中点．⑴求证：1AMBA；⑵求点C到平面ABM的距离．MC1B1A1CBA【难度】8【解析】⑴在1RtAAC与RtACM中，∵12AAACACCM，∴1RtRt∽AACACM，∴1∠∠AACCAM∴1ACAM∵1，BCACBCCC，且1ACCCC∴BC平面11CCAA，∴BCAM，故AM平面1ABC，∴1AMBA．⑵设点C到平面ABM的距离为h，13MABCABCVSMC111621332624BCACMC易知31210222，，AMBMAB，∴2221cos525∠AMBMABAMBAMBM，2sin55∠AMB，∴13sin22∠ABMSAMBMAMB∵CABMMABCVV，∴132324h，从而22h即点C到平面ABM的距离为22．【例9】（2010年一模·东城·文·题17）三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且12CCAB．⑴求证：平面1CCD平面ABC；⑵求证：1AC∥平面1CDB；⑶求三棱锥1DCBB的体积．C1B1A1DCBA【难度】8【解析】⑴因为1CC平面ABC，又1CC平面1CCD，所以平面1CCD平面ABC．⑵证明：连结1BC交1BC于O，连结DO，则O是1BC的中点，DO是1BAC的中位线．OABCDA1B1C1所以1DOAC∥．因为DO平面1CDB，所以1AC∥平面1CDB；⑶因为1CC平面ABC，所以1BB平面ABC，所以1BB为三棱锥1DCBB的高．11211113232433243DCBBBCBDBCDVVSBB．所以三棱锥1DCBB的体积为233．【例10】如图所示，正四棱柱1111ABCDABCD中，底面边长为22，侧棱长为4．EF，分别为棱ABBC，的中点，EFBDG．⑴求证：平面1BEF平面11BDDB；⑵求点1D到平面1BEF的距离d；⑶求三棱锥11BEFD的体积V．D1C1B1A1GFEDCBA【难度】8【解析】⑴连接AC．∵正四棱柱1111ABCDABCD的底面是正方形．∴ACBD，又1ACDD，故AC平面11BDDB．∵EF，分别为ABBC，的中点，故EFAC∥，∴EF平面11BDDB，∴平面1BEF平面11BDDB．⑵连结1BG，在对角面11BDDB中，作11DHBG，垂足为H，∵平面1BEF平面11BDDB，且平面1BEF平面11BDDB1BG，∴1DH平面1BEF，且垂足为H，∴点1D到平面1BEF的距离1dDH．法一：在11RtDHB中，11111sinDHDBDBH，∵111124DBAB，111122144sinsin1741BBDBHBGBGB，HGDBB1D1∴14164171717dDH．法二：∵111DHBBBG∽，∴11111DHDBBBBG，∴2111161717BBdDHBG．法三：连接1DG，则三角形11DGB的面积等于正方形11DBBD面积的一半．即21111122BGDHBB．∴161717d．⑶111111116116217332317BEFDDBEFBEFVVVdS．【例11】（2008新课标山东）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知28