集合复习知识要点及典型例题

1.1集合的概念及其运算复习要求1、会准确表示一般集合，掌握集合的各种表示方法；2、熟练掌握有关的术语和符号；3、理解子集、并集、补集的概念；4、能利用集合知识解决一些简单的集合问题.知识点回顾Part01知识要点1、集合的相关概念（1）集合：某些确定的对象所组成的整体，常用大写字母表示；（2）元素：集合中每一个确定的对象，常用小写字母表示；组成集合的元素具有确定性、互异性、无序性三个特性；（3）集合的分类：按元素个数可分为空集、有限集、无限集.知识要点2、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；（2）描述法：用集合中元素的统一特性来表示集合，写成{x|p(x)}的形式；（3）区间表示法：九种形式；（4）图示法：用一个封闭曲线的内部表示集合，这样的图叫做韦恩图.知识要点3、元素与集合的关系;AaAaAa，记作属于的元素，则称是集合）如果（1.AaAaAa，记作不属于的元素，则称不是集合）如果（2.AaAaAa中有且仅有一种情况和在，和集合素仅有两种，对于任意元元素与集合的关系有且知识要点4、集合与集合的关系；空集是任何集合的子集或的子集，记作集合是则称集合必有若）子集：对于集合（;ABBABA,Ba,Aa,B,A1非空集合的真子集；空集是任何或的真子集，记作是集合则称集合必有并且存在若）真子集：对于集合（;ABBABA,Ab,Bb,BA,B,A2知识要点4、集合与集合的关系；则且若记作相等则称集合的元素完全相同合）集合的相等：如果集（BA,AB,BA;BA,B,A,B,A3.但顺序可以不同同，数相同，且元素完全相两个相等集合的元素个知识要点5、常用的数集符号;N自然数集：;NN或正整数集：;Z整数集：;Q有理数集：;R实数集：.R,Q,Z,N,NR,Q,Z,N,N个集合，不能写成是集合符号，各表示一知识要点6、集合的运算；且即的交集，记作的集合称为的公共元素组成，由两个集合）交集：给定两个集合（BxAxxBA,BAB,AB,AB,A1；或即的并集，记作称为成的集合，把它们的所有元素组）并集：给定两个集合（BxAxxBA,BAB,AB,A2知识要点6、集合的运算；且即记作中的补集，在为集合中的元素组成的集合称且不在中的一个子集，由所有在是全集）补集：如果集合（AxUxxAC,ACUAAUUAUU3知识要点7、常用的性质.CA,CB,BA;A;AA则若）（1.BBA;ABA;ABBA;A;AAA）（2.BAB;BAA;ABBA;AA;AAA）（3知识要点7、常用的性质.ABC,BAC;A)AC(C;AACA;ACAUUUUUU则若）（4知识要点8、常见结论.,nnnnn个子集个数为个，非空真非空子集个数为个真子集个数为个，数为个元素，则其子集的个）若一个集合含有（22121221.BBABA;ABABA）（2基础过关Part02圆梦,P2，基础自测.基础自测典例剖析Part03典例剖析考点1、2集合与元素、集合的表示法【例1】下列各描述中，正确表示集合的有()①{1，2，，，…}；②{1，2，3，2，1}；③{x|x为非常小的实数}；④{x|x2＋1＞0}；⑤{x|x的平方等于负数，且x为实数}．A．1个B．2个C．3个D．4个B【方法规律】判断一个描述能否构成集合，关键看其对象是否符合集合中元素的三个性质．典例剖析【例2】已知x2∈{0，1，x}，求实数x的值．【解】由题意得x2＝0或x2＝1或x2＝x，解得x＝0或x＝－1或x＝1.又∵x≠0且x≠1，∴x＝－1.【方法规律】集合中的元素要满足互异性，解题时容易忽视检验．典例剖析【例3】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0}，且A中只有一个元素，求实数a的值．【解】(1)当a＝0时，得x＝0，此时A＝{0}，符合题意．(2)当a≠0时，由Δ＝0知4－4a2＝0，解得a＝±1.若a＝1，则A＝{-1}符合题意；若a＝－1，则A＝{1}符合题意．由(1)(2)可知：当a＝0或±1时，A中只有一个元素．典例剖析【方法规律】最高次项系数含有参数时要讨论系数是否为零．对于集合{x|ax2＋bx＋c＝0}只有一个元素时，一定要分类讨论，不能片面地认为方程ax2＋bx＋c＝0一定是一元二次方程，而只考虑Δ＝0的情况．典例剖析即x＝5，4，3，2，0，故A＝{0，2，3，4，5}．【例4】已知集合用列举法表示集合A.,Nx,NxxA612【解】由∈N，x∈N知6－x＝1，2，3，4，6，x612【方法规律】首先要理解集合A中的元素是x，其次要理解与x均为自然数，故6－x只能取1，2，3，4，6这五个值．126-x【例1】用适当的符号(∈，∉，＝，，)填空：(1)0________ø，ø________{0}；(2)ø________{x|x2+1=0，x∈R}，{0}________{x|x2+1=0，x∈R}；(3)设A＝{x|x=2n-1，n∈Z}，B＝{x|x=2m+1，m∈Z}，C＝{x|x=4k±1，k∈Z}，则A________B________C.典例剖析考点3集合之间的关系∉===【方法规律】空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．典例剖析【例2】(1)写出集合A＝{-1，0，1}的所有子集和真子集；(2)写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P.【解】(1)集合A的所有子集是ø，{-1}，{0}，{1}，{-1，0}，{-1，1}，{0，1}，{-1，0，1}；真子集是ø，{-1}，{0}，{1}，{-1，0}，{-1，1}，{0，1}.(2)满足条件的集合P有{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.典例剖析【方法规律】(1)集合A中的任意1个，2个，3个元素组成的集合及空集，都是集合A的子集．若一个集合中有n个元素，则这个集合的子集个数有2n个，真子集个数有2n－1个．(2)写子集或真子集时，要按元素个数由少到多的顺序写，空集不能遗忘．典例剖析【例3】已知集合A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，求实数m的值．【解】∵A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，B⊆A，∴m2＝2m－1，解得m＝1.【方法规律】在理解子集概念的基础上还应考虑集合中元素的三个特性，即确定性、互异性和无序性．典例剖析【例4】已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求x，y的值．【解】∵0∈B，A＝B，∴0∈A，根据集合元素的性质lg(xy)＝0，∴xy＝1，即1∈A，∴1∈B.若y＝1，则x＝1，则x＝xy，集合A不成立．∴|x|＝1，易知x＝1时不符合题意，∴x＝－1，∴y＝－1.【方法规律】本题要抓住两个集合相等的概念入手，再通过集合中元素三个性质来解题．典例剖析考点4集合的运算【例1】若集合P＝{x|x=2n，n∈N}，T＝{x|x=4n，n∈N}，则P∪T＝()A．{x|x=4n，n∈N}B．{x|x=2n，n∈N}C．{x|x=n，n∈N}D．{x|x=4n，n∈Z}B【方法规律】集合的并运算即取两个集合的所有元素．典例剖析【例2】设集合A＝{x|x2－7x＋12≥0}，B＝{x|x2－3x0}，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∩∁RB.【解】A＝{x|x2－7x＋12≥0}＝{x|(x－3)(x－4)≥0＝{x|x≤3或x≥4}，B＝{x|x2－3x0}＝{x|x（x-3）0}={x|0x3}.(1)根据图1得A∩B＝{x|0x3}.(2)根据图2得A∪B＝{x|x≤3或x≥4}.(3)根据图3得∁RB＝{x|x≤0或x≥3}，A∩∁RB＝{x|x≤0或x≥4}∪{3}.图一图二图三【方法规律】当集合是不等式的解集时，可借助于数轴，利用数形结合直观地解决问题．典例剖析【例3】已知集合A＝{x|x2＋px－2＝0}，B＝{x|x2-x+q＝0}，且A∪B＝{-2，0，1}，求实数p，q的值及A∩B.【解】∵A∪B＝{-2，0，1}，又∵A＝{x|x2＋px－2＝0}，∴0∉A，∴0∈B，∴q＝0，∴B＝{x|x2-x＝0}＝{0，1}，∴－2∈A，∴(－2)2－2p－2＝0，解得p＝1，∴A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}，∴A∩B＝{1}.【方法规律】根据集合中元素的确定性，可利用一元二次方程的特殊性质(如韦达定理)来判断元素与集合的关系，寻求解题途径．典例剖析【例4】已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，a∈R，若A∩B＝B，求a的取值范围．【解】易知A＝{0，－4}．∵A∩B＝B，∴B⊆A.当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1；当B＝{0}或{－4}时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}；当B＝{0，－4}时，综上所述，a的取值范围为{a|a＝1或a≤－1}．【方法规律】由A∩B＝B知B⊆A，而A＝{0，－4}，故B可能的集合分成三类(空集、一个元素的集合、两个元素的集合)．课堂练习Part04圆梦,P2-3，练习题.课堂练习课后练习Part05圆梦,P4，练习题.课堂练习谢谢配合！