2.2等差数列(优秀课件)

2.2等差数列第二章数列第一课时一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,…an,…如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。二、数列的简单表示:三、给出数列的方法:全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位:）分别是：，，，，，，，，，，，，，．某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500，8000，8500，9000，10000，10500.（观察以下数列）引入这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义交流1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数⑵由定义得等差数列的递推公式：1(nnaadd是常数）说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.每一项与其前一项的差探究练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。(1)1,1,1,1,1.(2)4,7,10,13,16.(3)3,2,1,1,2,3.(4)1,2,3,4,5,6.(5)5,9,13,,41,.n、等差数列的通项公式1{}.nnaada思考：已知等差数列的首项为，公差为，求根据等差数列的定义得到21aad，21aad所以32aad，43aad，3211()2aadaddad4311(2)3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n11na当时，上面等式两边均为，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为方法一：不完全归纳法2、等差数列的通项公式n1n{}.aaa思考：已知等差数列的首项为，公差为d，求21aad，32aad，43aad，1nnaad}1n个1(1)naand将所有等式相加得方法二累加法例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论3．等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.由等差中项的定义可知，a,A,b满足关系：222或abbAAaAbAa(aAb)意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当a=b时，A=a=b.n{}nmaaa思考：在等差数列中，项与有何关系？4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得1(1)naand①1(1)maamd②().nmaanmd①-②得().nmaanmd.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得：a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1∴这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=12–3n.解法二：1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，求数列{an}的公差2.2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=.3.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)A.1B.-1C.-D.31115课本P40(A)1、3、(B)2作业2.2等差数列第二章数列第二课时2、等差数列的通项公式1(1).naand1、等差数列的定义1(nnaadd是常数）.3、等差数列的中项2abA复习通项公式的证明及推广m(nm).naad3131与100与180用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？例3、已知数列{na}的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？解：])1([)(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数∴{na}是等差数列首项qpa1，公差为p。(napnqpq已知数列的通项公式是其中，是常数），那么这个数列是否一定是等思考：差数列？11{}2)()[(1)]().{}nnnnnnaaanaapnqpnqpnqpnpqpna取数列中的任意相邻两项与（，这是一个与无关的常数，所以是等差数列.5、等差数列的通项及图象特征napnq等差数列的通项公式可反之：以表示为吗？解析:111(1)(),,.nnaanddnadpdqadapnq设，则思考n等差数列的通项公式是关于的形式，反之一次亦成立。结论:一条其直图象线为落在上的点。首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：性质：设若则*m,n,p,qNmnpqaaaa.mnpq,111111(1)(1)2()2,(1)(1)2()2,.mnpqmnpqaaamdandanmddaaapdaqdapqddaaaa证明：等差数列的性质数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多123121knknnnaaaaaaaa564n求a10,aa}为等差数列，练习1：已知{an18131810练习3：已知{a}为等差数列，aaaa100,求a12an14815313练习2：已知{a}为等差数列，aaaa2,求a+a（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=（3）已知等差数列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，则a8=跟踪训练（1）已知等差数列{an}中，5102,12,aa15求a6,n5814(4)：已知{a}为等差数列，aa15,求a求数列通项公式21,aaa9,aaa}为等差数列，：已知{a变式753852n2d,求a187,aa56,aaaa}为等差数列，变式1：已知{a1747654n3.更一般的情形，an=，d=小结：1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===2{}{}ABCD1-nnnnnnnnnnabbabababa思考：已知数列是等差数列，则数列为等差数列的是（）、、、、D30083+5×（n-1）500巩固练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)A.1B.-1C.-D.311152.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？-35提示：52845244nn=45，46，…，8440例4例5已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.()()12()()48adaadadaad解：设三个数为a-d，a，a+d，则解之得42ad故所求三数依次为2，4，6或6，4，2例6如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？ADCB3，7，11a9=35S9=12255、等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有n{a}性质1：若成等差数列，则成等差数列.*m,p,n(m,p,nN)mpna,a,a证明：根据等差数列的定义，m,p,n,成等差数列pmnp,(pm)d(np)d.pmnpaaaa.即成等差数列.mpna,a,a如成等差数列，成等差数列.1611a,a,a369a,a,a推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）性质2：设若则*m,n,p,qNmnpqaaaa.mnpq,性质3：设c,b为常数，若数列为等差数列，则数列及为等差数列.{}na{}nab{}ncab性质4：设p,q为常数，若数列、均为等差数列，则数列为等差数列.{}na{}nnpaqbn{b}111111(1)(1)2()2,(1)(1)2()2,.mnpqmnpqaaamdandanmddaaapdaqdapqddaaaa证明：564n求a10,aa}为等差数列，练习1：已知{a10181381n求a100,aaaa}为等差数列，练习2：已知{a求数列通项公式21,aaa9,aaa}为等差数列，：已知{a变式753852n2d,求a187,aa56,aaaa}为等差数列，变式1：已知{a1747654n例8（1）已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值1523021539aaa∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5（1）等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12=（2）已知等差