2.4-不等式的简单应用

2.4不等式的简单应用【考纲要求】会解简单的不等式应用题.【学习重点】能够根据问题中的数量关系,列出不等式(组)解决实际问题.一、自主学习(一)知识归纳1.一元一次不等式:对于ax+b0,当a0时,x-𝒃𝒂;当a0时,x-𝒃𝒂;对于ax+b0,当a0时,x-𝒃𝒂;当a0时,x-𝒃𝒂.2.含绝对值的不等式:|x|a⇔-axa;|x|a⇔x-a或xa(其中a0).3.一元二次不等式:解一元二次不等式ax2+bx+c0(≥0)或ax2+bx+c0(≤0)(其中a、b、c是常数,且a≠0),可转化为解一元一次不等式组,再求解;也可利用二次函数图象解简单的一元二次不等式.(详见本章2.2.3)4.基本不等式:𝒂𝒃≤𝒂+𝒃𝟐(1)基本不等式成立的条件:a0,b0;(2)不等式等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.(二)基础训练1.用长为20米的绳子围成一个矩形,当矩形的长、宽各等于多少时,围成的矩形面积最大?解:设矩形的长为xm,宽为ym,面积为Sm2,根据题设条件,有x+y=10,且x0,y0.又S=xy≤(𝒙+𝒚𝟐)2=25所以S≤25,当且仅当x=y=5时,等号成立.答:要想使铁丝框的面积最大,长和宽分别为5m.2.在面积为625㎡的矩形中,最短周长是多少?解:设矩形的长为xm,宽为ym,周长为Lm,根据题设条件,有x0,y0,且xy=625.∴L=2x+2y≥2𝟐𝒙·𝟐𝒚=100答:最短周长是100m.3.某工厂生产一类产品,每月固定成本是12万元,每件产品变动成本是20元,若单价是50元,且每月要求获得的最低利润是2万元,问每月需要销售多少件产品?解:设每月需要销售x件产品,利润为y元∴y=(50-20)x-120000若每月要求获得的最低利润是2万元则y=(50-20)x-120000≥20000∴x≥𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎𝟑≈4667答:每月需要销售4667件产品.4.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层且每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?解:设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则f(x)=(560+48x)+𝟐𝟏𝟔𝟎×𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙=560+48x+𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎𝒙(x≥10,x∈Z+)∴f(x)≥560+2𝟒𝟖𝒙·𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎𝒙=560+1440=2000,当且仅当:48x=𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎𝒙,即x=15因此,当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2000.答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.二、探究提高【例1】某工厂生产的产品单价是80元,每件产品直接生产成本是60元,该工厂每月其它总开支是50000元.如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润,假定生产的产品全部都能卖出,问每月的最低产量是多少?【解】每月生产x(x0)件产品,则总收入为80x,直接生产成本为60x,每月利润为:80x-60x-50000=20x-50000(元),依据题意,得20x-50000≥200000,解得x≥12500.答:每月最低产量为12500件.【解】设明年生产量为x(x0)台,则依据题意得:𝟏𝟐𝒙≤𝟖𝟎×𝟐𝟒𝟎𝟎𝟓𝒙≤𝟐𝟎𝟎𝟎+𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎∴𝒙≤𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝒙≤𝟏𝟔𝟒𝟎𝟎∴x≤16000因为明年销售量至少10000台答:明年这个公司的产量可在10000台至16000台之间.【例2】某公司计划下一年度生产一种新型计算机,各部门提供的数据信息如下.人事部:明年生产工人不多于80人,每人每年按2400工时计算;市场部:预测明年销售量至少10000台;技术部:生产一台计算机,平均要用12个工时,每台计算机需要安装某种主要部件5个;供应部:今年年终将库存这种主要部件2000件,明年能采购到得这种主要部件为80000件.根据上述信息,明年公司的生产量可能是多少?【解】设矩形的长为xm,宽为ym,面积为S㎡,根据题设条件,有x+y=50,且x0,y0.因为S=x·y.又因为x·y≤(𝒙+𝒚𝟐)2=625.所以S≤625,(当且仅当x=y=25时,等号成立.)答:要想使铁丝框的面积最大,长和宽都为25m.【例3】已知一根长为100m的绳子,用它围成一个矩形,问长和宽分别为多少时,围成矩形的面积最大?【小结】用不等式解应用题时,要做到:(1)分析题意,找出实际问题中的不等关系,设定未知数,列出不等式(组);(2)解不等式(组),求出未知数的范围;(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案.三、达标训练1.以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹,发射后的t秒时刻,子弹的高度为y(米),且y=at-4.9t2.已知t=4时,y=196.试问子弹的高度不低于196米的时间可保持多少秒?解:依题意知:y=at-4.9t2当t=4时,y=196∴196=4a-4.9×42,∴a=68.6∴y=68.6t-4.9t2要使得子弹的高度不低于196米则68.6t-4.9t2≥196∴t2-14t+40≤0∴4≤t≤10∵10-4=6答:可保持6秒.2.某单位建造一间地面面积为12平米的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为400元/平米,房屋侧面的造价为150元/平米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3米,且不计屋背面的费用,当侧面的长为多少时,造价最低,最低造价是多少?解:设侧面的长为xm时,总造价为y元∴y=3×x×2×150+400×3×𝟏𝟐𝒙+5800即y=900x+𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙+5800∵y=900x+𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙+5800≥2𝟗𝟎𝟎𝒙×𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙+5800=13000当且仅当900x=𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙时等号成立,则x=4m.答:当侧面的长为4m时,总造价最低为13000元.3.据统计分析,个体服装商贩出售时装,只要按进价提高20%即可获利,但老板们常以高出进价的50%~100%标价,假设你准备买一件标价为150元的时装,应在多少元的范围内还价?解:设进价为x元,则由题意可得:1.5x1502x解得:75x100.由于商贩只要按进价提高20%即可获利,所以可得:75×(1+20%)(1+20%)x100×(1+20%).即:901.2x120.答:应在90~120元范围内还价.