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12012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项解答：解：故选B点评：本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．解答：解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）2A．﹣1B．1C．3D．9考点：循环结构．菁优网版权所有专题：算法和程序框图．分析：根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．解答：解：当输入x=﹣25时，|x|＞1，执行循环，x=﹣1=4；|x|=4＞1，执行循环，x=﹣1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=2×1+1=3．故选：C．点评：本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．4．（3分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，3故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10B．﹣10C．40D．﹣40考点：二项式定理的应用．菁优网版权所有专题：二项式定理．分析：由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1==，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数解答：解：（2x2﹣）5的二项展开式的通项为Tr+1==令10﹣3r=1，得r=3故x项的系数为=﹣40故选D点评：本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．解答：解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sinB==．所以sinC=sin2B=2×=，4cosC==．故选：A．点评：本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C．D．考点：平面向量的综合题．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ．解答：解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB=2∴=+λ+（1﹣λ）=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，=﹣2λ2+2λ﹣2∵=﹣∴4λ2﹣4λ+1=0∴（2λ﹣1）2=0∴故选A点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量积的定义和条件△ABC为等边三角形，AB=2，=﹣即可求解！58．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）考点：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有专题：直线与圆．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．解答：解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．考点：分层抽样方法．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．解答：解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是=，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．6∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18人，选取中学×75=9人．故答案为：18，9．点评：本题主要考查分层抽样，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：立体几何．分析：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．下部为两个半径均为的球体，体积2ו（）3=9π故所求体积等于18+9π故答案为：18+9π点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=1．考点：集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有专题：集合．分析：由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．解答：解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．如图7由图知m=﹣1，n=1，故答案为﹣1，1．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题一定的探究性，考查分析判断推理的能力12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=2．考点：抛物线的参数方程；圆锥曲线的综合．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．解答：解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p，化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．设点M的坐标为（3，m），则点E（﹣，m）．把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即p=．再由|EF|=|ME|，可得p2+m2=，即p2+6p=9++3p，解得p=2，或p=﹣6（舍去），故答案为2．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，把参数方程化为普通方程的方法，属于中档题．813．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有专题：直线与圆．分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．解答：解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同