2017-2018学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷

第1页，共17页2017-2018学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在平面直角坐标系中，点A（-2，0），B（0，t），如果直线AB的倾斜角为45°，那么实数t等于（）A.3B.2C.1D.02.已知直线l1：x+y+3=0，l2：2x+ay-1=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A.-1B.1C.-2D.23.甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为，，，则它们的大小关系为A.B.C.D.4.已知两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，那么下列选项正确的是（）A.若m∥α，n⊂α，则m∥nB.若m⊥α，n⊥β，则α⊥βC.若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n5.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，E分别是线段AC，AB的中点，A1D⊥底面ABC，则异面直线A1E与B1C1所成角的正切值为（）A.B.C.D.2第2页，共17页6.已知直线l：与圆交于A，B两点，若，则实数k的值是A.B.1C.D.7.在△ABC中，若acosB-c-=0，a2=bc，且b＞c，则等于（）A.B.2C.D.38.若过点M（-1，0）且斜率为k的直线与圆（x-1）2+y2=1在第一象限内有公共点，则实数k的取值范围是（）A.[-，]B.（0，）C.（0，]D.（-，）9.刘徽是一位伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值估算到任意的精度割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形去逼近圆若在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是A.B.C.D.10.棱长为2正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BB1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面的面积是（）A.6B.3C.6D.3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设i为虚数单位，计算=______．12.为了解观众对某影片的看法，决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，若抽取的男观众人数是30，则抽取的女观众人数是______．13.在平面直角坐标系中，已知点P（1，-3）和直线l：3x+4y-1=0，则P到l的距离是______；过点P与直线l平行的直线方程是______．14.若函数y=f（x）的图象同时平分圆x2+y2=1的周长和面积，则称函数f（x）具有性质T，请写出一个具有性质T的函数______．15.如图，在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，1，0），给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体在yOz平面内的正投影是（填相应编号）______；该四面体的体积是______．第3页，共17页16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2）和圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最小值是______．三、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17.某校为了解学生的计算机水平，从全体学生中随机抽取了100名学生进行测试，将测试成绩作出频率（数）分布表如下：分组频数频率[40，50）20.02[50，60）40.04[60，70）a0.26[70，80）300.30[80，90）24b[90，100]140.14合计1001成绩低于60分为不合格，成绩不低于60分则为合格．（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数；（Ⅲ）若从样本中的测试成绩不合格学生中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一人成绩在[40，50）的概率．18.如图，已知A，B，C，D四点共面，AB=3，∠B=，cos∠BAC=．（Ⅰ）求cos∠BCA的值；（Ⅱ）求AC的长；（Ⅲ）若∠BCD=，CD=，求△ACD的面积．第4页，共17页19.在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，点E在棱PA上，且PE=PA，AD∥BC，AC⊥CD，O是对角线AC，BD的交点，DO=2OB．（I）求证：EO∥平面PCD；（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅲ）在线段PD上是否存在点F，使得CF⊥AD，并说明理由．20.在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a-1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m=0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y=-2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；第5页，共17页（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．第6页，共17页答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为点A（-2，0），B（0，t），直线AB的倾斜角为45°，所以=1，解得b=2．故选：B．通过直线的斜率公式，直接求解t的值即可．本题考查直线的斜率的定义，斜率的求法，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：由2+a=0，解得a=-2．∴l1⊥l2时，则实数a=-2．故选：C．由2+a=0，解得a，即可得出．本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，比第二组数据方差大；综上可知s1＞s3＞s2．故选：B．根据三个频率分布直方图，结合方差的定义，对三组数据的方差大小作出大小判断．第7页，共17页本题利用频率分布直方图，考查了三组数据的方差与标准差的应用问题，也考查了读图能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，知：在A中，若m∥α，n⊂α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直，面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选：D．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直，面面垂直的性质定理得m⊥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，E分别是线段AC，AB的中点，A1D⊥底面ABC，设AB=2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，），E（，-，0），B1（，1，），C1（0，2，），=（，-，-），=（-，1，0），设异面直线A1E与B1C所成角为θ，第8页，共17页则cosθ==，∴θ=，则tanθ=．∴异面直线A1E与B1C所成角的正切值为．故选：C．设AB=2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，求出两向量夹角的余弦值，进一步得到异面直线A1E与B1C所成角的正切值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：圆x2+y2=8的圆心坐标为O（0，0），半径为，圆心O到直线的距离d=，则|AB|=2，解得：k=±1．故选：A．利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解．本题考查直线和圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】（本题满分为8分）解：由acosB-c-=0，及余弦定理可得：a•=c+，…（2分）所以：b2+c2=a2-bc，…（4分）因为：a2=bc，所以：b2+c2=bc-bc=bc，…（6分）第9页，共17页可得：（）2-•+1=0所以解得：=或2．…（7分）因为：b＞c，∴=2．…（8分）故选：B．由acosB-c-=0及余弦定理可得：b2+c2=a2-bc，结合已知可得（）2-•+1=0，解方程可得的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图，过点M（-1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0．由圆（x-1）2+y2=1的圆心（1，0）到直线kx-y+k=0的距离d=，解得k=．∴实数k的取值范围是（0，]．故选：C．由题意画出图形，求出与圆相切的直线的斜率，则答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．第10页，共17页9.【答案】A【解析】解：设圆的半径为1，圆内接正十二变形的一边所对的圆心角为，则圆内接正十二变形的面积为．圆的面积为π×12=π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：A．设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二变形的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二变形的面积，是基础题．10.【答案】D【解析】解：如图所示：取棱AD，AB，BB1的中点E，F，G，则该截面是一个边长为的正六边形，其面积为6××（）2=3．故选：D．由已知可得过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面是一个边长为的第11页，共17页正六边形，进而得到答案．本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题．11.【答案】1-i【解析】解：=故答案为：1-i在分式的分子、分母上同时乘以复数i，然后根据复数的四则运算进行化简即可．本题主要考查了复数的乘除的基本运算，属于基础试题．12.【答案】50【解析】解：为了解观众对某影片的看法，决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，抽取的男观众人数是30，设抽取的女观众人数是x，则，解得x=50，∴抽取的女观众人数是50．故答案为：50．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查抽取的女观众人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】3x+4y+9=0【解析】解：点P（1，-3）和直线l：3x+4y-1=0，则P到l的距离==．第12页，共17页过点P与直线l平行的直线方程是：y+3=-（x-1），化为：3x+4y+9=0．故答案为：，3x+4y+9=0．利用点到直线的距离公式可得P到l的距离．利用点斜式可得过点P与直线l平行的直线方程．本题考查了点到直线的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】y=x【解析】解：当直线经过圆x2+y2=1的圆心时，满足性质T，故正比例函数满足条件，故答案为：y=x（主观题答案不唯一）正比例函数的图象经过圆x2+y2=1的圆心，平分圆x2+y2=1的周长和面积本题考查的知识点是函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．15.【答案】②【解析】解：满足条件的四面体如图所示：D（0，0，0），D1（0，0，1），B1（0，1，1），B（1，1，0），其在yOz平面内的正投影如图②所示：该四面体的体积V==，第13页，共17页故答案为：②，借助正方体，画出满足条件的四个顶点，进而可得答案．本题考查三视图的画法，