2017年浙江高考卷21题解析几何

圆锥曲线综合题“入题、破题”之道以2017年浙江卷21题为例如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值.)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2)分析：本题题干简洁，并没有错综复杂的点线和几何关系.但此题第(1)问并没有按常规“出牌”，不求圆锥曲线的方程而是求直线斜率范围。“看图识题”如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题分析：第(1)问“求直线斜率范围”，不妨“依题行事”，直接表示出“所求对象”，只问一句“能表示否？”2141xykAP21412xx21x)1,1(APk完成求解,可作再思考,若背景是“椭圆”之下呢?发现yP=f(xP)就不甚简单了则“所求对象”就不好表示了x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2)xyOABPQ如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题x2=y)41,21()49,23(或(x,x2)1ABk而(x,y)分析：从几何角度可直观确定“直线AP的斜率”介于“抛物线在点A处切线的斜率”与“直线AB的斜率”之间2xyxy21|'21xy则)1,1(APk所以抛物线在点A处切线的斜率为-1如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题则可以设出“所求对象(AP斜率)”分析：若在“椭圆背景下”,我们说“所求对象(AP斜率)”就不好表示了,得到AP直线方程而AP直线与曲线相交为P自然会联立方程组韦达定理x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2))21(41:xkyAP则直线设直线AP的斜率为k,412kkxy即yxkkxy241204122kkxx232121kkxxPA21kxP0)1(2k1k11k2321Pxx2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,y)或(x,x2)如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(2)求|PA|·|PQ|的最大值.)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题分析：做题切忌盲目掉入“套路(设直线联立方程组韦达定理)”之中.应学会分析，理解题意分析题意有三条大道：②“逆推法”,即“执果索因”.从结论入手逆向分析，“要求次需求何”不断逆推，探索出结论与条件的联系；①“顺推法”,即“执因索果”.从条件入手步步分析转化；③“双管齐下”,即先“顺推”再“逆推”,找到交汇之处.x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)如图,已知抛物线x2=y,点A,B.抛物线上的点P(x,y)(),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(2)求|PA|·|PQ|的最大值.)41,21()49,23(2321x2017年浙江卷21题分析：对于此题第(2)问我们可选择“逆向分析”(因本身已知条件简洁，没什么可以转化).第①步:要求|PA|·|PQ|,应先求出|PA|，|PQ|自问:如何求？第②步:需分别求出点P,点Q的坐标可利用两点间的距离公式直接求自问:如何求？点P：直线AP与抛物线的交点点Q：直线AP与直线BQ的交点第③步:需设直线AP分别联立直线AP与抛物线方程,直线AP与BQ方程求点P,点Q的坐标x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2))21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP))21(,21(2kkP)23(149:xkyBP直线49231kxky即时当0k0412:kykxAP直线02349:kkyxBP直线023490412kkyxkykx))1(4189,)1(234(2222kkkkkkQ222)()1(||kkkPA)1(12kk||PQ怕怕!!理论可行，现实有些残酷x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)在解决圆锥曲线综合题时，能探索出解题思路，已经跨出了很大一步，但是离最终的成功胜利却仍然面临一个巨大的挑战——计算问题故而寻求简捷、合理的运算途径，优化计算过程显得尤为重要)21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP))21(,21(2kkP)23(149:xkyBP直线49231kxky即时当0k0412:kykxAP直线02349:kkyxBP直线023490412kkyxkykx))1(4189,)1(234(2222kkkkkkQ222)()1(||kkkPA)1(12kk||PQ怕怕!!理论可行，现实有些残酷两次计算挑战面临的是何困难？计算|PQ|你是用什么方法计算|PQ|？两点间的距离公式来一场自我对话，寻求破题之道是不是方法出问题了？若不用两点间距离公式计算长度，那该用什么呢？||1||2QPPQxxkPQ||||||APAQPQ||||||22APBQABx2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)若每次等到遇见困难时，才想寻求优化方案，可能很多同学都已精疲力尽了，重新分析可能也很费时。是否在一开始分析思路时，一同进行优化计算的思考呢？这就要求学会适时预测所选方法所携带的计算量问题第①步:要求|PA|·|PQ|,应先求出|PA|，|PQ|自问:如何求？利用两点间的距离公式直接求自问:计算量如何？221221)()(||yyxxAB公式形式比较繁琐自问:若不选用“两点间的距离公式”计算，有没有其它方法计算|PA|，|PQ|？||1||2APPAxxkPA||1||2QPPQxxkPQ好处：只需计算点P,Q的横坐标，只计算横坐标之差)21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP))21(,21(2kkP)23(149:xkyBP直线49231kxky即时当0k0412:kykxAP直线02349:kkyxBP直线023490412kkyxkykx))1(4189,)1(234(2222kkkkkkQ222)()1(||kkkPA)1(12kk||PQ)1(23422kkkxQ)1(1|1|1||1222kkkkxxkAP|)21()1(234|1||12222kkkkkxxkQP)1()1(||||3kkPQPA11)1()1()(3kkkkf记||||||||||||22APBQABAPAQPQ1)1()1(22kkkx2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2))21(41::xkyAP设直线解412kkxy即yxkkxy241204122kkxxkxxPA21kxP)1(1||1||22kkxxkPAAP||||||||||||22APBQABAPAQPQ22||AB1|22|||2kkBQ22||||||BQABAQ||||||APAQPQ1)1(4822kk1)1(22kk)1(11)1(222kkkk1)1()1(22kkk)1()1(||||3kkPQPA11)1()1()(3kkkkf记x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)前面三种解法，我们始终停留在|PA|·|PQ|“本身距离”的意义若|PA|·|PQ|不从距离意义理解，你能想到什么？||||PQPAPQPA)(BQPBPA如何计算这两个向量呢？有两条路：坐标或转化成其它已知向量PBPA)49,23()41,21(22xxxx3)21)(23(xx2321x此法大大减少了计算量与计算过程，可谓“神来之笔”，出奇制胜。x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)点评：本题并无向量，但引进向量，达到了“出奇制胜”的效果.事实上平面向量是十分活跃的一个“角色”，它融数、形于一体，与圆锥曲线问题自然交汇，亲密接触，无论对试题的表述，还是在揭示曲线的几何性质方面都有它独特的优势。学会跳出圆锥曲线本身的限制，站在其他知识（向量视角、三角视角、不等式视角、几何意义视角等）的角度审视所面临的问题，或许会有一番别开生面的场景x2=yxyOABPQ)41,21()49,23((x,x2)M||||PQPADC||||PDPC|)||(|MPMC|)||(|MPMD])45()21[(2222xx1632324xxx2321x解:易知点Q在以AB为直径的圆上,过ABQ可作圆M,M是AB的中点|)|(|)|(MPRMPR22||MPR易得半径R=,2)45,21(M连接MP交圆于点C、D妙哉!!“入题”之道①审题之时，尽可能在图中表征出条件，以便看图即能识题②依题行事，求什么就列什么③理解为上，注重分析（“顺推、逆推、双管齐下”）“破题”之道①若遇困境，切莫放弃，切中要害，寻求破解之法②学会在分析探索思路之时，适时预测所选方法所携带的计算量问题，以便一入题即可寻求简捷、合理的运算途径③在分析转化时，尝试从不同角度、不同维度看，或许有一番别开生面之景象王国维在《人间词话》中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外”。“其实解题教学也应如此，入乎其内（分析理解为上），才能够认识问题更多的细节，对其本质了若指掌；出乎其外（跳出题意本身限制），或许能看到问题的不同方面，对其产生更为全面的理解，甚至能够另辟蹊径”——这大概就是圆锥曲线综合题的“入题、破题”之道的真正意义所在