2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程章末复习课-Word版含答案完美版

学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则dr→相离；d＝r→相切；dr→相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系相离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|d|r1－r2|5.求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．8．空间中两点的距离公式空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.类型一求圆的方程例1根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．解(1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由3x＋2y－15＝0，3x＋10y＋9＝0，解得x＝7，y＝－3，∴圆心C(7，－3)，半径为r＝|AC|＝65.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(2)方法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝10，圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝|a－b|2.由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得d2＋(422)2＝r2，即a－b22＋8＝10，∴(a－b)2＝4.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.方法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝42，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝a2＋b2－102，∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．答案(x－1)2＋(y－2)2＝2解析取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝|CD|2＋|AD|2＝2，即圆C的半径为2.又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C(1，2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.类型二直线与圆的位置关系例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．解(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知，|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k＝34.∴方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有|a－2＋4|a2＋1＝2，解得a＝0或a＝43.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为|a＋2|a2＋1，∴|a＋2|a2＋12＋2322＝4，解得a＝－34.反思与感悟当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2r2－d2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．跟踪训练2已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．解(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离为|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，即y－6x＋2·y－5x＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2两点，若点A到直线P1P2的距离为5，求这个圆的方程．解设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.由已知得|2＋2×1＋r2－5|5＝5，解得r2＝6.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．答案(－2，－1)解析两圆的圆心坐标分别为O1(－1,1)和O2(2，－2)，由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ，则12·PQOOkk＝kPQ·1－－2－1－2＝－1，∴kPQ＝1.∴直线PQ的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.由点P(1,2)在圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2上，可得r＝5，联立x＋12＋y－12＝5，y＝x＋1，解得x＝1，y＝2或x＝－2，y＝－1.∴Q(－2，－1)．类型四数形结合思想的应用例4曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512)B．(512，＋∞)C．(13，34]D．(512，34]答案D解析首先明确曲线y＝1＋4－x2表示半圆，由数形结合可得512＜k≤34.反思与感悟数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．跟踪训练4已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________．答案3－3解析如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则当圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴kmax＝3，kmin＝－3.(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝3，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋54a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞23B．－23＜a＜2C．a＞1D．a＜1答案D解析由题意知a2＋4a2－4(54a2＋a－1)＞0，解得a＜1.2．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9答案B3．过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°＜α≤30°B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30°D．0°≤α≤60°答案D解析设l：y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0，圆心(0,0)到直线l的距离为d＝|3k－1|k2＋1≤1，解得0≤k≤3，即0≤tanα≤3，∴0°≤α≤60°.4．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为()A．4B．3C．2D．1答案C解析两圆的标准方程分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝121；(x＋2)2＋(y－4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C1(3，－8)，r1＝11；C2(－2,4)，r2＝8.圆心距为|C1C2|＝3＋22＋－8－42＝13.∵r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交，则公切线共2条．5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m的值．解(1)因为圆x2