2019届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三第二次联考数学(理)试题

页1第安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（理）命题：安徽师范大学附属中学考试时间：120分钟；试卷分值：150分。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U＝R，集合3Axx，6Bxx，则集合UABC()A．36xxB．36xxC．36xxD．36xx2．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为()A．15B．25C．50D．603．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是()A．－1－iB．1＋iC．－1＋iD．1－i4．若5sin()45，那么cos()4的值为()A．255B．255C．55D．555．设0.2141312,,log65abc则()A．abcB．cbaC．cabD．bac6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积为98，则它的表面积是()A．92B．9C．454D．5447．若执行如图所示的程序框图，输入1231,2,3,2xxxx，则输出的数等于（）A．13页2第B．23C．1D．28．已知抛物线22(0)ypxp上一点(5,)t到焦点的距离为6，PQ、分别为抛物线与圆22(6)1xy上的动点，则PQ的最小值为（）A．211B．525C．25D．2519．已知函数2()32sincos23cos(0)fxxxx在区间,2内没有极值点，则的取值范围为（）A．511,1224B．10,2C．55110,,241224D．51110,,1224210．某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（）种A．222B．253C．276D．28411．定义在R上的奇函数()fx，当0x时，1213,1,()log(1),0,1xxfxxx则关于x的函数()()(01)Fxfxaa的所有零点之和为（）A．12aB．0C．22aD．112a12．设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，则下列命题正确的是（）（1）若222abc，则2C；（2）若2abc，则3C；（3）若333abc，则2C；（4）若2()ababc，则2C；（5）若222222abcab，则3C.A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（5）C．（1）（3）（4）D．（1）（3）（5）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，2)，若a⊥b，则b在向量cab上的投影为________．14．若实数x，y满足约束条件41014xyyxy则z＝lny－lnx的最小值是________．15．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、，直线MN过2F，且与双曲线右页3第支交于MN、两点，若112coscosFMNFFM，1112FMFN，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和.16．三棱锥PABC中，底面ABC满足BABC，2ABC，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(本小题满分12分)已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1232+=32aaaa,，等差数列{}nb的前n项和为nS，且34516bS,.（Ⅰ）求数列{}na、{}nb的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，有点11(,0)Pa、22(,0)Pa……(,0)nnPa、11(,0)nnPa,111(,)Qab、222(,)Qab……(,)nnnQab，若记1nnnPQP的面积为nc,求数列nc的前n项和nT.18.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC­A′B′C′的侧棱长为4，ABBC，且AB＝BC＝4，点D，E分别是棱AB，BC上的动点，且AD＝BE.（Ⅰ）求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D；（Ⅱ）当三棱锥B­DB′E的体积取最大值时，求二面角D-B′E-A′的余弦值．19.（本小题满分12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.（Ⅰ）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（Ⅱ）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.20．(本小题满分12分)已知椭圆C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为22，页4第直线l：2yx与椭圆交于,MN，四边形12MFNF的面积为423.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）作与l平行的直线与椭圆交于,AB两点，且线段AB的中点为P，若12,PFPF的斜率分别为12,kk，求12kk的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数2()(1)xfxxex，2()210()xgxaeaxaaR.（Ⅰ）求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）当0x时，()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为32cos12sinxy（为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l的极坐标方程为1sin2cos，求曲线C上的点到直线l的最大距离.23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2fxxmxn，,0,mn.（Ⅰ）若()1fx恒成立，求2mn的最小值；（Ⅱ）若2,3mn，求不等式()5fx的解集.页5第安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题答案（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案ACBDBCBDCAAD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.10214.－ln315.2,3316.319三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.解：(1)设数列公比为,由已知,由题意得：得，又，解得，则………3分设数列的公差为，由题意得：解得，则………6分(2)由(1)有=，，故………8分+○1○2○1-○2得-=故………12分18.根据题意，以B为原点，以BC，BA，BB′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，页6第则B(0，0，0)，A(0，4，0)，A′(0，4，4)，C(4，0，0)，C′(4，0，4)，B′(0，0，4)．(1)证明：设D(0，a，0)，则E(4－a，0，0)，得B′C→＝(4，0，－4)，＝(－4，a，－4)，故B′C→·＝0，有B′C→⊥，即总有B′C⊥C′D.………4分(2)当且仅当a＝2时，取等号，此时D(0，2，0)，E(2，0，0)………6分则,设面DB′E的法向量为,由可取同理可得面A′B′E的一个法向量………10分由易得二面角D-B′E-A′的余弦值为。………12分19.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)==………6分(2)由题意可知,故所求分布列为X0123P………10分E(X)=………12分页7第20.解：由（1）222221yxxyab可得2222244abyab22cea，222212abea2,abcb………2分22242234abcab，带入得3222238bbb12ba，椭圆方程为2212xy………5分（2）设直线AB的方程为2(0)yxmm由22212yxmxy，得2298220xmxm226436(22)0mm，得29m，3,00,3m………7分设112200(,),(,),(,)AxyBxyPxy,则21212822,99mxxmxx0004,299mxmyxm200001222000281118116yyxymkkxxxm288116m（0m）………10分128,0,7kk………12分21.解：(1)()12xxfxexex,(1)2fe(1)1f,所求切线方程为21yexe………4分(2)令22()()()(1)210(0)xhxfxgxxaexaxax()(1)22()(2)xxxhxexaexaxae①当0a时，0xa，0ln2x时，()0hx；ln2x时，()0hx()hx在0,ln2上是减函数，在ln2,上是增函数，22()(ln2)(2ln22)ln22ln280hxhaa页8第(ln22)(ln24)0aa，即ln240a………7分②当0ln2a时，()hx在0,a上是增函数，在,ln2a上是减函数，在ln2,上是增函数，要使()0hx，则(ln2)0(0)0hh，解得0ln2a………9分③当ln2a时，()0hx，()hx在0,上是增函数，2(0)9ln2ln20h，成立………10分④当ln2a时，()hx在0,ln2上是增函数，在ln2,a上是减函数，在,a上是增函数，要使()0hx，则()0(0)0hah，解得ln2ln10a综上，实数a的取值范围为ln24,ln10………12分22.解：(1)由32cos12sinxy，消去，得22314xy将cossinxy代入得22cos3sin14，化简得26cos2sin6………5分(2)由1sin2cos，得sin2cos1，即210xy圆心3,1C到直线210xy的距离23116555d所以C上点到直线的最大距离为6525dr………10分23.（1）2