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第六章计算机辅助工程分析本章主要介绍CAD/CAM系统中的计算机辅助工程分析方法，有限元、优化设计和仿真技术等内容。6.1有限元（FiniteElementMethod）有限元方法基本思路：将连续体离散为有限个单元，单元间用节点相连，将受力等效到节点上，根据受力平衡条件建立方程，将所有单元重新组合，连立方程，并求解，这样的方法称为有限元。力学分析方法类型：1、解析法：根据数学方法，分析计算典型的受力情况，并得出经典的理论解，该方法只能用于计算受力、结构都比较简单，能用数学方法进行求解的简单而典型物理问题。2、数值计算方法：采用数值计算原理和方法，将复杂的物理问题简化为简单的问题，使用计算机进行求解，该方法可以应用于结构、受力等复杂，又无法用经典的数学物理方法进行求解的物理问题。有限单元方法和有限差分方法为两个工程上最为常用的数值计算方法，本教材简单介绍有限单元方法。有限单元方法采用的单元类型有很多，根据不同的物理问题可以分为图6.2所示的集中常用单元类型：一、弹性力学的基本知识：1、常用物理量(1)外力：分集中力（N）、线载荷(N/m)、面载荷(N/m2)和体积力(N/m3)(2)应力:分正应力和剪应力，单位：N/m2，见图6.3(3)应变：分正应变(单位长度的变形量)和剪应变(变形前后的线或面之间的夹角变化量)，见图6.4(4)位移：在力或温差等载荷作用下，物体内点的位置变化，分正位移和角位移。2、力学方程(1)应变与位移间的关系（几何方程）：应变写成阵列形式：(2)应力应变关系（物理方程）：写成矩阵形式：二、有限元方法应用举例：如图所示：等截面直杆，上端固定，下端自由，设杆的截面积A，长为L，单位杆长的重力q，试采用有限元方法计算杆中各点的位移。1、将杆离散化有限个杆单元（图6.6a）2、计算单元中任意位置的位移取三个单元中任一单元，e为单元号，i,j为节点号，建立局部坐标系，假设单元中的位移呈线性分布，那么得到式(6.3)式中系数a1,a2待定。设xi=0时，u=ui，xj=l时，u=uj，代入方程6.3解得系数a1，a2或写成：将系数a1，a2代回公式6.3，记f=u，得到：设：N=（Ni，Nj）=，称为形状函数，因为函数只与l、与I点的距离有关。Δe=ui可以得到：ujf=NΔe(6.4)3、等效节点载荷根据力学上的虚功原理，将单元载荷等效到单元的节点i，j上。计算得到的各单元的节点载荷分别为：（计算过程省略）(6.5)4、建立单元刚度矩阵(1)应变与位移之间关系：几何方程：ε=du/dx，代入公式6.4，得到：(6.6)(2)应力与位移之间关系：物理方程：σ=Eε，代入公式6.6，得到：(6.7)(3)建立力与位移之间关系：由虚功原理得到力与位移之间关系：(6.8)式中K为单元刚度矩阵，将公式(6.6)和(6.7)中的系数代入公式(6.8)得到：(6.9)5、建立总刚度矩阵对于单元2、3，同理建立(6.8)类型的方程根据节点的力平衡，得到：整理上面公式，得到整个问题的刚度矩阵：记：可以得到：6.12式中：K----总体刚度矩阵Δ----总体节点位易矩阵F----总体节点载荷矩阵计算各矩阵中的系数，得到：加入边界条件：u1=0，方程变成：求解方程三、有限元方法的基本算法与步骤1、单元划分：将一个连续体分割离散成许多个一定大小的单元，并将单元和节点进行编号。2、单元特征分析以节点位移为未知量，设一个单元位移函数（以节点位移表示单元位移）。3、建立单元刚度矩阵使用几何方程以节点位移表示单元应变使用物理方程以节点位移表示单元应力使用虚功方程以节点位移表示节点力，建立单元刚度矩阵4、建立总刚度矩阵通过各单元刚度矩阵形成总刚度矩阵5、建立载荷矩阵通过节点的力平衡方程，建立节点力矩阵，从而得到以节点位移为未知数的，总刚度矩阵为系数的线性代数方程。6、边界条件的处理应用位移约束或已知的边界条件7、求解线性代数方程组求解线性代数方程，得到节点位移的未知数8、结果得到节点位移的未知数后，运用几何方程和物理方程，得出单元应力应变，输出结果或用图线来表示。四、有限单元方法的前处理、后处理有限单元方法的前处理、后处理在有限单元方法中的应用和作用。1、前处理：有限单元方法的前处理包括：单元划分，单元节点编号，节点坐标生成，应用边界条件，定义单元材料特性，定义单元载荷，单元网格显示等内容。图6.11显示正确的和错误的前处理后的单元网格图前处理时的注意事项：a、单元一般均匀划分，但在几何突变的地方加密。b、节点编号尽量使同一单元内的最大与最小节点差值最小。C、单元网格划分的大小和多少跟求解问题的难易有关，网格划分越细，单元越小，计算精度越高，但是计算工作量越大，因此，单元网格划分要根据实际情况定，总的原则，既保证精度又达到计算速度。2、后处理经过计算得到的节点位移，通过后处理计算应力应变，并采用图形方式来表示。一、基本概念优化设计的关键：A、建立优化设计数学模型，即确定目标函数，约束条件，设计变量等。B、选择合理的优化方法1、设计变量例1设计一个开口的矩形储料箱，要求容积为2.4m3，宽度不小于1.6m，要求用料最省已知条件：容积约束条件：宽度不小于1.6m设计目标：用料最省设计变量：长l、宽w、高h6.2优化设计例2设计一圆形截面的悬臂梁(图6.15)已知：集中载荷Fp=10000N,扭矩M=10Nm约束条件：50mm≤l≤150mm，20mm≤d≤100mm设计目标：满足强度刚度要求，体积最小设计变量：d，l2、目标函数根据特定的目标建立的，以设计变量为自变量，通过一系列数学物理方法建立的函数被称为目标函数。优化设计的过程通常可以认为：寻找目标函数中的最大或最小值。例1的目标函数为：f(l,w,h)=2(lh+wh)+lw例2的目标函数为：F(d,l)=πd2l/43、约束条件约束条件指设计变量的值约束范围(1)边界约束例1、①w-1.6≥0②l≥0③h≥0例2、①d-20≥0②100-d≥0③l-50≥0④150-l≥0(2)性能约束例2强度性能约束（满足强度刚度要求）根据力学知识计算悬臂梁的弯曲强度：Fpl/0.1d3≤[δ]悬臂梁的扭转强度：M/0.2d3≤[τ]悬臂梁的刚度：Fpl3/3EJ≤[f]查有关的材料手册：[δ]=100MPa，[τ]=75MP,[f]=0.1mm，E=7.03*104MPa代入上面三个约束条件后得到：⑤(d3/l)-1000≥0⑥d3-6666.6≥0⑦(d4/l3)-9.65≥0图6.17表示例2悬臂梁优化设计的约束情况：边ABCDE围成的区域是可行域。4、数值迭代计算数值迭代计算是优化设计中的最基本的数值计算方法。例3求方程x3-x-1=0的解解：方程变换为x=（x+1）1/3假设方程的解xo=2按上式计算x1=(xo+1)1/3=1.44225x2=(x1+1)1/3=1.34668…以此迭代计算……xk=(xk-1+1)1/3当多此迭代计算后的结果相同，结束迭代计算结果见表6.1二、优化设计的数学模型1、数学模型的描述例2的数学模型的描述：目标函数：F(d,l)=πd2l/4约束：①d-20≥0②100-d≥0③l-50≥0④150-l≥0⑤(d3/l)-1000≥0⑥d3-6666.6≥0⑦(d4/l3)-9.65≥0这是一个二维的非线性规划问题，可以采用MATLIB软件求解，得到：l=50,d=36.84,目标函数的最小值=53296.5mm3三、常用的优化方法：1、一维收索法2、坐标轮换法3、单纯形法4、Powell法5、梯度法6、牛顿法7、变尺度法8、网格法9、复合形法10、罚函数法四、优化设计的一般过程：1、根据机械优化设计的要求，确定优化范围2、分析优化对象，准备技术资料3、建立合理而实用的优化设计数学模型4、选择合适的优化设计方法5、选用或编写优化设计程序6、计算机求解7、分析优化结果一、基本概念仿真是指用一个模拟的实验系统去分析研究一个实际的系统性能。1、仿真类型（1）物理仿真模拟的实验系统与实际的系统，物理性能（几何、材料、结构、特性等）相似。需要进行大量的实验，费时，费力，费钱，离实际接近。（2）数学仿真（计算机仿真）进行计算机模拟实际系统，省时，省力，省钱，实时性差6.3仿真设计二、计算机仿真的一般过程1、建立数学模型2、建立计算机仿真模型3、编写计算机仿真程序4、计算机仿真5、计算结果分析6、总结三、仿真在CAD/CAM中的应用1、产品形态仿真：形状、外观、色彩等2、装配关系仿真：装配关系、干涉检查、HVAC等布局和安装检查。3、运动学仿真：约束、运动轨迹、关节等。4、动力学仿真：振动、稳定性等动力学性能。5、零件加工工艺仿真：检验加工工艺合理、可行性、正确性等。6、零件加工过程仿真：模拟刀具运动轨迹、切削、加工等。7、生产过程仿真：FMS系统模拟。