MIE理论小结

§1Rayleigh散射与Mie散射天空呈蓝色和线偏振这两个特性在上个世纪曾经是很重要的科学之谜，最后由Rayleigh做出解释，Rayleigh注意到了产生这种散射的散射元并不是当时一般人们所认为的水或冰，而是气体分子本身造成这样的散射。Rayleigh散射具有（1）散射光的强度和波长的四次方成反比，因此晴朗天空基本上是蓝色而不是太阳光的颜色；（2）散射光的空间分布与观测方向有一个简单的关系；（3）在散射的前半球和后半球具有相同的散射强度；（4）90o方向的散射光几乎是全偏振的。空气分子的Rayleigh散射代表大气光路散射的最小值。在低层大气，粒子的Mie散射处于主导地位，但平均来说，随着高度的增加，Mie散射的减小比Rayleigh散射快。这是因为霾气溶胶的标高一般近似1Km，而恒常气体层的标高一般为6—9Km甚至更高。因此除了几个稀薄的粒子层之外，气溶胶只在一个有限高度范围内分布，而Rayleigh散射却一直到很高的高度上仍有影响。但到这样的高度，大气透明度已经很高了，故限制视程的主要原因是几何因子而不是光学因子。[1]相对于云雾粒子，我们主要考虑这种由直径大于波长的0.03倍的粒子造成的散射，即Mie散射。从很小的粒子开始，当其半径相对于波长而言逐渐加大时，就逐渐发生从Rayleigh散射向Mie散射的过度。Mie散射具有（1）散射光强度随角度分布变得十分复杂，粒子相对于波长的尺度越大，分布越复杂。（2）当粒子的尺度加大时，前向散射与后向散射之比随之增加，结果使前向散射的波瓣增大。（3）当粒子尺度比波长大时，散射过程和波长的依赖关系就不密切了，这一点可以从云一般是发白的现象推测到。白色的云和蓝色天空反映了两种不同类型的散射。当r0.03𝛌时，Rayleigh近似式和Mie散射公式相比，误差在1％以内。[1]§2单球的Mie散射Mie理论自1908年被提出，它给出了均匀介质球引起平面电磁波散射的精确解。考虑半径为a,相对背景的折射率m,平面电磁波沿z方向入射，电矢量沿x轴方向极化。考虑到在球坐标系中，入射平面波可写为：0ˆikzixEeEe。球内外场满足波动方程：22222222220,00,0kEkHkmEkmH球外球内式中m为球粒子的复折射率。将入射电场iE与磁场iH，球形粒子内部场1E与1H，以及散射场sE与sH分别用矢量球谐函数展开，其中包含,,,nnnnabcd四个待定系数。再利用边界条件：10isrEEEe，10isrHHHe将入射场，内场和散射场带入边界条件，并利用勒让德函数和三角函数的正交性，获得四个待定系数,,,nnnnabcd满足的线性方程组。通过求解这个线性方程组可以得到：()()()()(,)()()()()()()()()(,)()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnmmxxxmxaxmmmxxxmxmxxmxmxbxmmxxmxmx式中，1,nnnnjhnj为球贝塞尔函数，1nh为第一类汉克尔函数。则在远离球粒子的散射场：12()sin,()cos,ikrikrzieESkrieESkr其中1()S和2()S称为振幅函数（amplitudefunction),根据Mie理论,可由下面的对称级数给出：11(21)()[(,)(cos)(,)(cos)](1)nnnnnnSaxmbxmnn21(21)()[(,)(cos)(,)(cos)](1)nnnnnnSaxmbxmnn其中x称为尺寸参数（sizeparameter）,定义为2/xa,它代表粒子周长和入射波长的比值，此外，m为折射指数（indexofrefraction）为散射角。(cos)n和(cos)n称为角度系数（angularcoefficient），由下式给出：111()(cos)sin()(cos)nnnnPdPd其中，1nP是连带Legendre函数。可以发现当m趋于1时，(,)naxm，(,)nbxm即将变为零，这就是当粒子消失时，散射场自然也会消失。同样得到散射系数与消光系数以及入射散射的斯托克斯参量（stokesparameters）：[2]散射系数：22212(21)()scannnQnabx消光系数：212(21)Re()extnnnQnabx单次反照率0/sewQQ斯托克斯参量矩阵：11121211223334343300001,0000SiSiSiSiIISSQQSSSSUUkrSSVV其中，222211211221****33212134212111(),(),221(),().22SSSSSSiSSSSSSSSSS这些矩阵元中，只有三个是完全独立的，即：222211123334SSSS.§3散射系数和散射截面的计算[2]据此Aden在1951年首先在计算单粒子散射问题时，引进“对数导数”nD，即()ln()nndDd。我们利用这一结果，改写成下列形式：1111()//()()()//()()()/()()()/()()nnnnnnnnnnnnnnDmxmnxxxaDmxmnxxxmDmxnxxxbmDmxnxxx而对数导数满足递推关系：11/nnnDDn。对于此式，Kattawar和Plass在1967年发表的论文中指出nD在向下生成时是“数值稳定的”，而另两个函数()()nnnxj，()()nnnnxjiy的计算采用向上生成。至于截断次数Nstop的取值，根据Wiscombe在1979年和1980年的研究和实验成果，我们可以取为最接近1342xx的整数。()nDmx的初值和NMX的选取，需要(,)NMXMAXNstopmx，这是()nx向下生成稳定性的要求。我们将NMX取值(,)15MAXNstopmx，并取0.00.0NMXDi，这样一般说来计算结果是合理的。n和n的生成公式是相同的，即1221()()()nnnnxxxx取双精度初值为10()cos,sinxxx，以及单精度初值10()sin,cosxxx最后根据复数nnni得到()nx。考虑计算的效率问题，我们只需要计算出[0,90]nn的和，然后利用关系式1()(1)()nnn和()(1)()nnn，求的(90,180]的nn和。最后，根据前面的公式计算出散射矩阵元11123334,,,SSSS并计算了散射问题的吸收系数absQ，散射系数scaQ和消光系数extQ，以及极化程度Pol。其中，计算出的散射矩阵元对所有的散射角应该满足关系2223334121111111SSSSSS。§4单球散射结果分析。（1）令折射指数m=1.5,考虑消光系数extQ的计算结果随尺寸参数的变换。051015202530012345012345消光系数Qextm=1.50x=4.5Qmax=4.202505尺寸参数x由图可以看出在x=4.5处，即波长为粒子半径的4/3时，可以看出强烈的散射发生，此外，这个效率因子随着x的增加一面振动一面减小，最后接近于2，也就是说，对于大粒子来说，入射于其截面的能量的两倍被削弱了，在这种情况下只有散射，因为m为实数，这种现像是几何光学作用，即反射，折射。（2）参考书中的初始数据集计算散射强度和极化强度的角分布；0306090120150180-0.8-0.40.00.40.81.21.6归一化参量angle/degreeS11Polx=5.2128refrel=1.55wavel=.6328从中可以很容易看出，在入射方向上，散射强度为最强，然后随着角度增加，散射强度很快减小；而极化强度随着角度的变化形成明显的震荡分布，在入射方向的垂直方向上，出现极化强度的最大值--------当然，这时所有这些参量均为关于入射方向的（z轴）对称分布。为了清楚的了解散射强度随角度的分布情况，我们研究log11S随角度的分布情况：03060901201501800.010.11归一化参量angle/degree（3）考虑复折射率的情况，此时存在吸收波，假设refrel=1.55+i0.2;0306090120150180-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5归一化参量angle/degree--------pol--------S11x=5.213wavel=.6328refrel=1.55+i0.2参考文献：[1]E.J.麦卡特尼,大气光学.北京:科学出版社,1988.9.[2]D.R.H.CraigF.Bohren,absorptionandscatteringbysmallparticle.NewYork.Chichester.Weinheim.Brisbane.Singapore.Toreada:WlieySciencePaperbackSeries,1998.