第十八章 机械振动基础

理论力学NortheasternUniversityPAG2第四章机械振动基础说话，声带振动振动:物体在平衡位置附近往复运动研究振动的目的：消除或减小有害振动，充分利用有利振动。听声，耳膜振动利：振动给料机振动筛振动沉拔桩机弊：磨损,减少寿命,影响强度引起噪声,影响劳动条件消耗能量,降低精度NortheasternUniversityPAG3第四章机械振动基础本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。单自由度系统的振动多自由度系统的振动弹性体的振动按振动系统的自由度无阻尼自由振动有阻尼自由振动自由振动强迫振动自激振动按振动产生原因无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动NortheasternUniversityPAG44123单自由度系统的自由振动计算固有频率的能量法单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼自由振动第四章机械振动基础5单自由度系统的有阻尼受迫振动6转子的临界转速7隔振NortheasternUniversityPAG5模型：弹簧质量系统（弹簧原长l0,刚性系数k）在重力作用下弹簧变形δst为静变形，该位置为平衡位置。平衡取重物平衡位置O点为坐标原点，x轴铅直向下为正;0lstxOstFgmxgmF弹簧力§4-1单自由度系统的自由振动一、自由振动微分方程ststkFstkmgkmgst)(stxkFNortheasternUniversityPAG6由质点运动微分方程可得—恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。（始终指向原点）—无阻尼自由振动微分方程的标准形式)(22xkmgdtxdmst)(;ststxkFkmgkxmkn2令0222xdtxdn0lstxOxgmFstkmg§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG7两个根为代入微分方程得特征方程0222xdtxdnrtex设0lstxOxgmF—二阶齐次线性常系数微分方程022nrnnirir21;方程解表示为tCtCxnnsincos21C1、C2为积分常数，由初始条件确定§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG8微分方程的解运动图线无阻尼自由振动是简谐振动ntxtt+Tx0OAtCtCxnnsincos21)sin(tAxn0lstxOxgmF方程解表示为212221tanCCCCA设§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG91、固有频率无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动任意t时刻的运动规律为—周期函数T—周期二、无阻尼自由振动的特点)()(Ttxtx单位：秒(s)无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG102)(])([tTtnn无阻尼自由振动微分方程0222xdtxdn解为)sin(tAxn角度周期为2π，有则自由振动的周期为nT2fTn212—频率其中Tf1每秒振动次数(1/s,Hz赫兹)fn2—圆频率2π秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG11mknmkn2固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是振动系统的固有特性。—固有圆频率§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG12stPkgPm;由stngmk若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG13固有频率的确定方法：方法一:方法二：弹簧质量系统平衡时方法三：已知系统的运动微分方程mknstkmgstgmkstng022BxdtxdAABn§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG14⑵振幅与初位相振幅A简谐振动表达式—相对于振动中心点O的最大位移初相位—决定质点运动的起始位置)sin(tAxn相位角tn—决定质点在某瞬时t的位置自由振动的振幅A和初相位θ是两个待定常数，它们由运动的初始条件确定。§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG15)sin(tAxn2200020tannnvxAxv,000vvxxt，时，设)cos(tAxnn;sin0Axcos0nAv简谐振动表达式§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG16物块在平衡位置时，弹簧变形量例4-1如图所示，质量为m=0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β=30°，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。解:⑴取质量弹簧系统为研究对象0OxNFgmFkmgsin0hgm0k⑵以物块平衡位置O为原点，取x轴如图⑶物块在任意位置x处受力重力mg斜面约束力FN弹性力F§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG17固有频率与斜面倾角β无关⑷系统振动的固有频率固有频率)(sin022xkmgdtxdmkmgsin0kxdtxdm22mkn5.010008.0物块沿x轴的运动微分方程系统的通解)sin(tAxnsrad/400OxxNFgmFhgm§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG18取物块刚碰上弹簧作为初始条件，此时t=0，物块坐标即初位移kmgxsin00⑸系统振动的振幅、物块的运动方程m31006.310008.030sin8.95.0物块碰上弹簧时初速度smghv/4.11.08.9220§4-1单自由度系统的自由振动0OxxNFgmFhgmNortheasternUniversityPAG19sradsmvmxn/40;/4.1;1006.3030得振幅及初相位此物块的运动方程为mmAnvx1.3522020radvxn087.0arctan00mmtx)087.040sin(1.35系统的通解)sin(tAxn0OxxNFgmFh§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG201k2k⑴弹簧并联系统平衡—等效弹簧刚度系数1k2kst1Fgm2F三、弹簧的并联与串联ststkFkF2211;stkkFFmg)(212112eqkkk令设物块在重力mg作用下平移，静变形为δst，两弹簧受力F1和F2弹簧刚度分别为k1、k2st1F2Fgm§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG211k2k⑴弹簧并联系统平衡(等效弹簧刚性系数)st1Fgm2FeqkgmeqF三、弹簧的并联与串联stkkFFmg)(212112eqkkk令eqstmgk并联系统固有频率12eqnkkkmm1k2kst1F2Fgm当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。（该结论可推广到多弹簧并联的情形）§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG22⑵弹簧串联两弹簧总静伸长;11kmgst22kmgst)11(2121kkmgststst12111eqkkk每个弹簧受力均为物块重量系统平衡时,两弹簧静伸长分别为设串联系统等效弹簧刚度为keq，则eqstkmg/1212eqkkkkk三、弹簧的并联与串联1k2kgm§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG231k2kgm21212111kkkkkkkeq等效弹簧刚度⑵弹簧串联三、弹簧的并联与串联串联系统固有频率1212()eqnkkkmmkk当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度的倒数等于两个弹簧刚度倒数的和。（该结论可推广到多弹簧串联的情形）§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG24扭振系统：圆盘对中心轴转动惯量为JO，刚性固结在扭杆的一端，圆盘相对固定端可转角度φ，扭杆的扭转刚性系数为kt（使圆盘产生单位扭角所需力矩）扭振系统OJtk根据刚体转动微分方程建立圆盘转动运动微分方程：四、其它类型的单自由度振动系统tOkdtdJ22OtnJk2令0222ndtd（扭振系统、多体系统）—与无阻尼微分方程的标准形式相同§4-1单自由度系统的自由振动NortheasternUniversityPAG25运动规律速度为在t瞬时物块的动能§4-2计算固有频率的能量法能量法从机械能守恒定律出发计算较复杂系统的固有频率。0lstxOxgmF无阻尼振动系统自由振动时，物块运动为简谐振动。)sin(tAxn)cos(tAdtdxvnn221mvT)(cos21222tAmnnNortheasternUniversityPAG26对有重力影响的弹性系统，若以平衡位置为零势能点，则重力与弹性力势能之和相当于由平衡位置计算变形的单独弹性力势能。系统势能V为弹簧势能与重力势能的和，选平衡位置为零势能点mgxxkVstst])[(2122mgkst)sin(tAxn)(sin2121222tkAkxVn0lstxOxgmF§4-2计算固有频率的能量法NortheasternUniversityPAG270lstxOxgmF当物块处于平衡位置时，其速度最大，物块具有最大动能(势能为0)22max21AmTn当物块处于偏离振动中心的最远点时，其位移最大，系统具有最大势能（动能为0）2max21kAV无阻尼自由振动系统是保守系统，其机械能守恒maxmaxVTmkn系统固有频率§4-2计算固有频率的能量法NortheasternUniversityPAG28则系统振动时摆杆的最大角速度⑶计算最大动能和最大势能最大动能例18-5图示摆振系统，摆杆AO对铰链点O的转动惯量为J，在杆的点A和B各安置一个刚度分别为K1和K2的弹簧，系统在水平位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。⑵设摆杆作自由振动时,其摆角变化规律为解:⑴取摆杆为研究对象)sin(tnnmax2k1kAOdlB22max21nJT§4-2计算固有频率的能量法NortheasternUniversityPAG29最大势能=两弹簧最大势能之和⑷应用机械能守恒定律2221max)(21)(21dklkV22221)(21dklkmaxmaxVT2222122)(2121dklkJn22max21nJT最大动能2k1kAOdlBJdklkn2221固有频率§4-2计算固有频率的能量法NortheasternUniversityPAG30