第十四章机械振动

机械振动第十四章振动•简谐振动的描述•简谐振动的动力学•阻尼振动•受迫振动•同方向同频率简谐振动的合成•同方向不同频率简谐振动的合成•谐振分析广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近作周期性变化。机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。自然界的振动心跳简谐振动物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simpleharmonicvibration)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。物体距平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦(或正弦)函数变化动力学特征以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力以铅垂方向为摆角参考轴，单摆在任一角位置所受的重力矩为则取摆幅很小X正X向反X向运动学特征简谐振动的速度A简谐振动的加速度A应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程X简谐振动微分方程对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令则即得A为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程A该微分方程的解通常表成余弦函数续4简谐振动的加速度AA简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA简谐振动参量XAA振幅：的最大绝对值A周期：完成一次振动需时频率：角频率：弹簧振子单摆AA相位：是界定振子在时刻的运动状态的物理量运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相：是时，振子的相位。续6由和求给定振子的振幅AAAA消去得初相由和求给定振子的AAA消去得但由于在0~2p范围内，同一正切值对应有两个值，因此，还必须再根据和的正负进行判断。联系振子运动直观图不难作出判断且若则若且则且若则且若则（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋转矢量法AAXXOjM(0)Aj初相M(t)twtwM(t)twM(t)twM(t)M(t)twM(t)twM(T)Tw周期TM(t)twM(t)twXOjM(0)j初相M(t)twA矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标t时刻的振动相位(wt﹢j)旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x=Acos(wt﹢j)简谐振动方程续8旋转矢量端点M作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）wA其速率wAjtwAXAAXOwjtwO旋转矢量端点M的加速度为法向加速度，其大小为wA振子的运动加速度（与X轴同向为正）wAjtw和任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A=0.04(m)T=2(s)w=2p/T=p(rad/s)0.04pp2Aw=p/2t=0v0从t=0作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~t曲线一致。v0SI试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在位置坐标处所受弹性力合外力动力学方程微分方程的解：振动方程A均与水平弹簧振子结果相同例二例三弹簧振子x0=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4N·m-1完成下述简谐振动方程km0.2(rad·s–1)x0v02(m)20.2(SI)v0x0=0已知w相应的旋转矢量图为v0例四某物体沿X轴简谐运动，振幅A=0.12m，周期T=2s，t=0时x0=0.06m处初相j,t=0.5s时的位置x,速度v,加速度a物体背离原点移动到位置A=0.12m，T=2s,w=2p/T=prad·s-1,将j=p/3rad及t=0.5s代入谐振动的x,v,a定义式得xAcos(wt﹢j)0.104(m)A0.19(m·s-1)A1.03(m·s-2)x=Acos(wt﹢j)由简谐振动方程t=0时0.06=0.12cosj得j=±p/3再由题意知t=0时物体正向运动，即A0且j=p/3，则j在第四象限，故取例五AcosAcos或因且在第一象限应取AcosAcos两质点振动相位差从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A转过1.06(s)A转过时，质点2第一次通过平衡点2.13(s)周期均为T=8.5s用旋转矢量法两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点1、2同在X轴上作简谐振动t=0时在处质点2AA向平衡点运动质点1在处向平衡点运动振幅A相同AA22sindtdJJmghJ为m绕O点转动的转动惯量。复摆（物理摆）可见，复摆的运动也满足谐振动方程。且其圆频率与周期为COmghOCmghJTp2Jmgh0w022Jmghdtd当时sin简谐振动的判断式平动转动BMkxF合2222dtdJJMdtxdmmaF合00222222wdtdxdtxdJBmk22w)cos()cos(00jjwttAx振动能量（以X=0处为零势点）系统的动能A系统的势能A系统的机械能AA振子运动速度AA简谐振动方程振动系统：弹簧劲度振子质量振动角频率如水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时间能量例六动能A势能A则其中得当时振动相位或一水平弹簧振子弹簧劲度振子质量振幅A沿X轴振动当振动系统的以平衡点为原点位置坐标x相等时动能值与势能值振子的A代入中，解得能量位置例2有一水平弹簧振子。K=24N/m，重物质量m=6kg，静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求：振子的运动方程。221kA?5.0WJFS解：外力的功：s/radmk.A22040wAx0又))(2cos(204.0SItxpXOA?A！Apj例七该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能刚体（直棒）转动动能势能系统的重力势能以垂态直棒中心点C为重力零势点令机械能机械能守恒，即为恒量，即得简谐角振动微分方程该摆的振动周期匀质细直悬棒质量m、长L在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量振动合成一且相同同在X轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长or相消合成起决定作用续18合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若为其它值，则处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值若则例1试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅：第一组：第二组：0.05cos(3t+π/3)mx1=0.05cos(3t+7π/3)mx2=0.05cos(3t+π/3)mx1=0.05cos(3t+4π/3)mx2=A=A1+A2=0.05+0.05=0.10(m)A=A1-A2=0==3π73ππΦΔ2解：第一组：==3π43ππΦΔ第二组例2三个同方向、同频率的谐振动为试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。x0.1cos(10t+π/6)m1=0.1cos(10t+π/2)mx2=0.1cos(10t+5π/6)mx3=解：=A1A2A3==0.1=56πφ3=2πφ2=6πφ1A2Aφ2A´φ1A3A1xoφ3+=A1A3A´+=A2A´=A+A1A2A3+=A1A2=0.2=2πφ0.2cos(10t+π/2)mx=例3一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:试求：其合振动的振幅和初相位(式中x以m计,t以s计)。0.04cos(2t+π/6)mx1=0.03cos(2t-5π/6)mx2==0.01mφ2A1A2cos()++=A22A1A22φ1=(0.04)2+(0.04)2+2×0.04×0.03cos(-π)解：arctg+=φ1A1sinφ2A2sinφ1A1cosφ2A2cos+φ()+arctg=230.04×210.04×210.04×()+0.04×23()3arctg=1=π6例八0.050.060.07简谐振动(SI)(SI)(SI)合成的和合成的最大时合成的最小时8.92×10–2(m)0.92868°12′248°12′(舍去）时当得合成的达到最小当时合成的达到最大得内容小结机械振动：(1)简谐振动的判断式：平动转动BMkxF合合2222dtdIIMdtxdmmaF合合IBdtdmkxdtxd2222222200ww)cos(0jwtAx)cos(00wt0,,jwA（2）如何求：（3）简谐振动的能量221kAEEEPk)cos(212212221jjAAAAA22112211coscossinsinjjjjjAAAAtg（4）同方向、同频率简谐振动的合成：