《余弦定理》导学案1---教师版

《余弦定理》导学案1姓名:【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【重点难点】▲重点：理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用.▲难点：余弦定理的应用.【学习过程】一、复习：正弦定理及其变形、应用思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二余弦定理的证明问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.∵AC，∴ACAC同理可得：2222cosabcbcA，2222coscababC．余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．分析：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，，．思考：你还有其它方法证明余弦定理吗？三定理剖析（1）若C=90，则cosC，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．四定理应用知识点一已知三角形两边及夹角解三角形例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.解由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2，由正弦定理得sinA＝asinCc＝12，因为ba，所以BA，又∵0°A180°，∴A＝30°.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1在△ABC中，边a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.解由题意：a＋b＝5，ab＝2.cabABC由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝19.知识点二已知三角形三边解三角形例2已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．解∵ca，cb，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°C180°，∴C＝120°.所以△ABC的最大内角为120°.总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解由条件知：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，即x＝7.所以，AC边上的中线长为7.知识点三利用余弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．解∵a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．变式训练3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．解因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，所以可令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k0)．c最大，cosC＝2k2＋3k2－4k22×2k×3k0，所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．五小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；在△ABC中，若222abc，则角C是直角；若222abc，则角C是钝角；若222abc，则角C是锐角．2.余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．作业设计:一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B．3C.5D．52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π123．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．44．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.235．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形6．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°二、填空题7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.9．三角形三边长为a，b，a2＋ab＋b2(a0，b0)，则最大角为________．10．在△ABC中，BC＝1，B＝π3，当△ABC的面积等于3时，tanC＝________.三、解答题11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．13．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．1-6,ABCBBB7,120°8,30°9,120°10,－2311,解由条件知：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x＝7.所以，所求中线长为7.12,解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－12，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝10.(3)S△ABC＝12absinC＝32.13,解由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．