第四章机械振动(XXXX11改编)

首页上页下页退出•振动分类受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动)无阻尼自由谐振动2tx第四章机械振动4.1简谐振动的动力学特征4.2简谐振动的运动学4.3简谐振动的能量4.4简谐振动的合成*振动的频谱分析4.5阻尼振动受迫振动共振首页上页下页退出3前言物体或物体的某一部分在某固定位置附近来回往复的运动实例:钟摆，乐器，地震，心脏的跳动等1机械振动平衡位置首页上页下页退出4简谐运动最简单、最基本的振动简谐运动复杂振动合成分解2简谐振动首页上页下页退出5X0xFKF——线性回复力（1）受力注意：此处位移x——特指振子偏离平衡位置的位移。F=-kx1.弹簧振子4.1简谐振动的动力学特征4.2简谐振动的运动学一、简谐振动——作简谐振动的物体振动的成因：回复力+惯性首页上页下页退出6mk2令xa2即makxF简谐运动特征：a∝x（F∝x），方向相反。（2）振动微分方程（动力学特征）由牛顿定律：以振子为对象kxdtxdm22简谐运动的微分方程0dd222xtxX0xFKxtx222dd首页上页下页退出7积分常数，根据初始条件确定)cos(0tAx设初始条件为:000=时，，vvtxx简谐振动表达式解得（3）振动表达式（运动学特征）0222xdtxd解微分方程首页上页下页退出82.简谐振动基本特征线性回复力（1）受力F=-kx（2）振动微分方程（动力学特征）0dd222xtx)cos(0tAx（3）振动表达式（运动学特征）首页上页下页退出9)cos(dd0222tAtxa)cos(0tAx由)sin(0tAtxddv简谐振动表达式3.简谐振动的速度和加速度最大速度最大加速度Amaxv2maxAa速度加速度首页上页下页退出总结：简谐振动方程和特征0dd222xtx（2）简谐运动的动力学方程kxF（1）物体受线性回复力作用平衡位置0x)sin(0tAv)cos(0tAx（3）简谐运动的运动学方程xa2（4）加速度与位移成正比而方向相反首页上页下页退出11二、描述简谐振动的三个重要参量1.振幅A)cos(0tAxmaxxA（1）周期T：完成一次全振动所需的时间2.周期、频率、圆频率（3）圆频率：２秒内完成全振动的次数（2）频率：单位时间内所完成全振动的次数T122Ttx图AAxT2Tto周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关——固有周期T——固有频率f——固有圆频率首页上页下页退出12位相的意义：表征任意时刻t物体振动的状态。0t3.位相和初位相（1）位相：（2）初位相：0，t=0时的位相，在0→2π之间取值。)cos(0tAx4.由初始条件确定振幅A和初位相φ022020vxA000tanxv对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)cos(0tAx)sin(0tAv0000sincosAvAx000vv，，xxt初始条件首页上页下页退出13讨论0,0,000vxt已知，求0)2πcos(tAx取20π图txAAxT2Tto)cos(0tAx)sin(0tAvX0t=0时,x0=0,v00v0sin0cos0000AvAx232π0，或0sin0首页上页下页退出140sin0cos0000AvAx2300sincos0000AvAAx001cos00sin23,200或X0vt=0时,x0=0,v00X0+At=0时,x0=A,v0=0)cos(0tAx)sin(0tAvX0A／2t=0时,x0=A/2,v00v0sin2cos0000AvAAx300sin35,300或首页上页下页退出1500AXoXotxXo-AXoAXo2/002/30tx20txtxtx)2/()0(0首页上页下页退出16Δφ=φ2-φ1=φ20-φ10x1=A1cos(ω1t+φ10)x2=A2cos(ω2t+φ20)两个简谐振动的位相差求两个同频率简谐振动x1，x2的位相差并讨论其意义讨论首页上页下页退出17（2）若Δφ=φ20-φ10=±（2k+1）π（k=0，1，2…）——两个振动的状态相反。“反相”，x1=－x2，v1=－v2（1）若Δφ=φ20-φ10=±2kπ（k=0，1，2……）——两个振动的状态相同。“同相”，x1=x2，v1=v20xtoxto为其它超前落后txoπ（3）若Δφ=φ20-φ100，表示x2振动超前x1振动。首页上页下页退出lTFPmglmglMsinsin5，时动力学分析：lgt22ddOAm22ddtJmgl2mlJ１.单摆转动正向三、微振动的简谐近似——线性回复力矩2tddJJM2首页上页下页退出)cos(00tlg2令glTπ20dd222tlgt22ddlTFPOAm2mlJ转动正向注意：角速度ω、与角频率ω区别，角振幅θ0和初位相0区别角速度:)sin(`00tdtd——微分方程——振动表达式——周期——角频率ω首页上页下页退出2.复摆22ddtJmghJmgh2令)5(*hgm（C点为质心）COFhMmghmghMsin222ddt转动正向22tJJMdd首页上页下页退出0dd222t)cos(00t——角谐振动mghJTJmghπ2π2*hgm（C点为质心）CO转动正向Jmgh2首页上页下页退出Jmgh复摆mk弹簧振子lg单摆2πT首页上页下页退出23P126例4.1一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证明其在平衡位置附近的振动是简谐振动.证:取坐标如图所示(画好三个图）该系统作简谐振动.klmg)(22lxkmgdtxdmkxdtxdm220222xdtxdmk2A处：x处：首页上页下页退出24结论：一个简谐振动振动系统受到一个恒力作用（如mg），只要将原系统坐标原点移到恒力作用后新的平衡位置处，该系统仍是一个与原来系统动力学特征（F、ω…）相同的简谐振动系统，此时回复力F=mg–k（x+l）称准弹性力。0222xdtxdmk2)(22lxkmgdtxdmX0xFK首页上页下页退出解：)cos(0tAxm2A605s4.02Tz5.21HTdtdxvsmvt/10)65cos(50222tdtxddtdva220/325smat例：某物体作谐振动，方程为则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、初相以及初始时刻的速度、加速度、各是多少。m)65cos(2tx)65sin(10t首页上页下页退出26四简谐振动的旋转矢量表示法首页上页下页退出270cos()xAt以O为原点旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.AxoAtt时xTπ200t首页上页下页退出28xoAtx自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动圆频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.AA旋转矢量A首页上页下页退出（1）t=0时，旋转矢量A与x轴夹角φ0(初位相）;oAtt0t)cos(0tAxxxo0A0t0x00cosAx（2）旋转矢量A以角速度ω沿逆时针方向，t时刻，A与x轴夹角ωt+φ0（位相）；（3）以O为原点旋转矢量A的端点，在x轴上的投影点的运动为简谐运动.首页上页下页退出)cos(02tAa2π0tmvvxyOA0t)cos(0tAxnaaAmv)sin(0tAv2mAa首页上页下页退出31（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图tx首页上页下页退出32abcdovmv0x0x0,v0v0v0v0x0,v0x0,v0x0,v0a点：x=A，φ0=0c点：x=－A，φ0=πb点：x=0，v0，平衡位置处，φ0=π/2d点：x=0，v0，平衡位置处，φ0=3π/2,或φ0=－π/20首页上页下页退出P130例4.2如图4.6所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m的物体.设弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为J，半径为R，若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。(1)试证明物体m的运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程.解(1)若物体m离开初始位置的距离为b时，受力平衡以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，有kbmgtdxdmma221T-mgJRTRT21)(2bxkTRa首页上页下页退出34由上4式解得此振动系统的运动是简谐振动.(2)圆频率周期0)(222kxdtxdRJm0222xRJmkdtxd2RJmkkRJmT2220222xdtxd首页上页下页退出35振动系统的振动方程为(3)依题意知t＝0时，x0＝－b，v0＝0，22020vxA0)cos(0tAx2RJmkxoA0x0＝－b)cos(2tRJmkkmgkmgbkbmgt=0首页上页下页退出36P131例4.3已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程.0cos()xAt解：设谐振动方程为t＝1s时，x＝2cm=A/2，v＞0，从图中得：A＝4cm，023t＝0时，x0=－2cm=－A/2，v00由旋转矢量法得350t21tx0t2Ao320350t由旋转矢量法得24cos()3xtcm首页上页下页退出1.动能以弹簧振子为例mk22k21vmE设x(t)=Acos(ωt+0)v(t)=－Aωsin(ωt+0)4.3简谐振动的能量OxXm一、动能和势能221kxEppkEEE2.势能3.机械能作简谐振动的系统，动能和势能互相转化，总机械能守恒.)(sin21)(sin210220222tkAtAm)(cos21)(cos210222022tAmtkA2222121kAAm首页上页下页退出简谐振动能量图tkAkxE222pcos2121tAmmvE2222ksin21214T2T43T能量otTtxtvv,xtoTtAxcostAsinv221kAE00首页上页下页退出简谐振动势能曲线简谐振动能量守恒，振幅A不变。kEpEx221kAEAApExOEBC221kxEp首页上页下页退出能量守恒简谐振动方程导出常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx首页上页下页退出（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？补充例题质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：kg10.0m100.122sm0.4解：