第四章机械振动

研究机械振动和机械波的基本规律。包括振动、波动两大部分。第四章机械振动§4-1简谐振动的动力学特征§4-2简谐振动的运动学§4-3简谐振动的能量§4-4振动的合成（主要讨论简谐振动和振动的合成）§4-1简谐振动的动力学特征简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡)tcos(Ax位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统物体—可看作质点轻弹簧—质量忽略不计ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置mkoxkxF22dtxdmkxmk2简谐振动微分方程0xdtxd2220dtd222结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。gl22Tlg00当时sinsinmglM二、微振动的简谐近似mgfTCOmgldtdml222摆球对C点的力矩l/g2角频率,振动的周期分别为：mglM§4-2简谐振动的运动学其通解为：一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程0xdtxd222二、描述简谐振动的特征量)tcos(Ax1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。)tsin(Av00vv,xx,0t初始条件cosAx0sinAv02200vxA)(频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、圆频率对弹簧振子：T/1角频率：2T/2km2Tmk21mk固有周期、固有频率、固有角频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。/2T单摆gl2Tlg21lg3、位相和初位相—位相，决定谐振动物体的运动状态t)tcos(Ax是t=0时刻的位相—初位相cosAx0sinAv000xvtant=0时位相差：两振动位相之差。12当=2k，k=0,±1,±2…；当=(2k+1),k=0,±1,±2...02超前于1或1滞后于2位相差反映了两个振动不同程度的参差错落两振动步调相同,称同相两振动步调相反,称反相)(tcosAx①简谐振动的运动方程：②简谐振动的速度方程：)(tsinAdtdxv③简谐振动加速度方程：)(tcosAdtdva2三、简谐振动的旋转矢量表示法1、简谐振动的运动学特征简谐振动的位移、速度及加速度曲线vavaxxto简谐振动的位移、速度及加速度随时间周期性变化。2、简谐振动和匀速圆周运动的联系可见：作匀速圆周运动的质点在过圆心的某一方向上投影的运动为简谐振动。3、简谐振动的旋转矢量法作一参考圆，如图：xotx)(tcosAxvxvv)(tsinAvaa)(tcosAa2位矢与x轴的夹角为谐振动的位相，在t=0时的夹角为初位相。AA旋转矢量4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相*用旋转矢量法确定简谐振动的初位相的原则：由初始条件、确定旋转矢量所在位置，0x0v旋转矢量和轴的夹角即为初位相。oxox0x00v00x00v00x00v00x00v0课堂练习：①Ax0②A22x00v0③0x00v0④2Ax00v0oxAox课堂练习：①Ax0②A22x00v0③0x00v0④2Ax00v0A4课堂练习：①Ax0②A22x00v0③0x00v0④2Ax00v0ox4A2课堂练习：①Ax0②A22x00v0③0x00v0④2Ax00v0ox24A3432或[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，平衡位置[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，①过平衡位置向正方向运动；2Ax②过处向x轴负方向运动；以下两种情况的初位相（设竖直向下为正方向）求当t=0时x①过平衡位置向正方向运动；x平衡位置oxoA①过平衡位置向正方向运动；x22Ax②过处向x轴负方向运动；Aoxo2Ax0vx3xoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAooooooooAAooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooxoxoAxoAFxoAxoFxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoA[例]一远洋轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S，设在水面附近轮船的水平截面积近似相等。设水的密度ρ为，且不计水的粘滞阻力，证明轮船在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐振动，并求振动周期。解：船静浮于水面时，其重量等于浮力，此时的水面若竖直向下为正方向。当船体向下产生一位移x时，即为系统的平衡位置。把坐标原点取在平衡位置上，衡位置。即：其重力不变，合外力为浮力的增量，方向向上指向平ρgSxf式中Sx为船体下沉时的体积，负号表示浮力增量与ρgSxdtxdmaf220xmρgSdtxd22令：mρgSω2船体位移始终反向。0xωdtxd222可见，船体竖直方向的运动为简谐振动。其振动的周期为：ρgSm2πω2πT[例]水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高bρρa´不计水的阻力。ρ´度为a,水面以下高度为b。水密度为木快密度为ρ表面与水面平齐。现用外力将木块压入水中，使木快上[例]水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高不计水的阻力。ρ´度为a,水面以下高度为b。水密度为木快密度为ρ表面与水面平齐。现用外力将木块压入水中，使木快上[例]水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高不计水的阻力。ρ´度为a,水面以下高度为b。水密度为木快密度为ρ表面与水面平齐。现用外力将木块压入水中，使木快上[例]水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高不计水的阻力。ρ´度为a,水面以下高度为b。水密度为木快密度为ρbρρa´求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。任意位置木块受到的合外力为：合外力和位移成正比,方向和位移相反,木块作谐振动。平衡位置bca.ρρ0xsy´平衡时：任意位置acb0xxsy.0gbsgsba)(gsxbgsbaF)()(gxs由上面得到：由牛顿定律gxsF22dtxdsbagxs)(0xbagdtxd22)()(bag0tax00v0aA0tbagcosax])([§4-3简谐振动的能量以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x)(tsinAv)(tcosAx2kmv21E)(tsinkA21222pkx21E)(tcoskA2122谐振动的动能和势能是时间的周期性函数动能2kmv21E)t(sinkA2122势能2pkx21E)t(coskA2122情况同动能。pminpmaxpE,E,E0Emink2TttkkkA41dtET1E2maxkkA21E机械能2pkkA21EEE简谐振动系统机械能守恒EA212k=EEkEpoxtAx=costω谐振子的动能、势能及总能量to§4-4振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为)(12212221cosAA2AAA22112211cosAcosAsinAsinAtg)()(111tcosAtx)()(222tcosAtx)(tcosAx质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:2A1AA121x2xx21xxx如A1=A2,则A=0,2,1,0kk212两分振动相互加强21AAA,2,1,0k1k212)(两分振动相互减弱21AAA分析若两分振动同相：若两分振动反相:)(12212221cosAA2AAA合振动不是简谐振动式中t2cosA2tA12)()(随t缓变t2costcos12)(随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向不同频率简谐振动的合成分振动)(tcosAx11)(tcosAx22合振动)()(t2cost2cosA2x121221xxx当21时,tcostAx)(：则1212拍:合振动忽强忽弱的现象拍频:单位时间内强弱变化的次数=|2-1|xtx2tx1t12拍122T：或