《导数及其应用》知识点总结

1《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数()fx在区间12[,]xx上的平均变化率为：2121()()fxfxxx。2.导数的定义：设函数()yfx在区间(,)ab上有定义，0(,)xab，若x无限趋近于0时，比值00()()fxxfxyxx无限趋近于一个常数A，则称函数()fx在0xx处可导，并称该常数A为函数()fx在0xx处的导数，记作0()fx。函数()fx在0xx处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()yfxxfx；（2）求平均变化率：00()()fxxfxx；（3）取极限，当x无限趋近与0时，00()()fxxfxx无限趋近与一个常数A，则0()fxA.4.导数的几何意义：函数()fx在0xx处的导数就是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()yfx在x0处的导数，即为曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。当点00(,)Pxy不在()yfx上时，求经过点P的()yfx的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0xx。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数()St，则()VSt表示瞬时速度，()avt表示瞬时加速度。二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）()kxbk(k,b为常数)；（2）0C(C为常数)；（3）()1x；（4）2()2xx；（5）32()3xx；（6）211()xx；2（7）1()2xx；（8）1()ααxαx（α为常数）；（9）()ln(0,1)xxaaaaa；（10）11(log)log(0,1)lnaaxeaaxxa；（11）()xxee；（12）1(ln)xx；（13）(sin)cosxx；（14）(cos)sinxx。2.函数的和、差、积、商的导数：（1）[()()]()()fxgxfxgx；（2）[()]()CfxCfx（C为常数）；（3）[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；（4）2()()()()()[](()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx。3.简单复合函数的导数：若(),yfuuaxb，则xuxyyu，即xuyya。三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()yfx在区间(,)ab内可导，（1）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为增函数；（2）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为减函数；（3）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()yfx的定义域；②求导数()fx；③解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数()yfx在区间(,)ab内可导，(1)如果函数()yfx在区间(,)ab上为增函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(2)如果函数()yfx在区间(,)ab上为减函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(3)如果函数()yfx在区间(,)ab上为常数函数,则()0fx恒成立。2.求函数的极值：设函数()yfx在0x及其附近有定义，如果对0x附近的所有的点都有0()()fxfx（或0()()fxfx），则称0()fx是函数()fx的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：3（1）确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的全部实根，12nxxx，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，()fx和()fx值的变化情况：x1(,)x1x12(,)xx…nx(,)nx()fx正负0正负0正负()fx单调性单调性单调性（4）检查()fx的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数()fx在定义域I内存在0x，使得对任意的xI，总有0()()fxfx，则称0()fx为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值的步骤：（1）求()fx在区间(,)ab上的极值；（2）将第一步中求得的极值与(),()fafb比较，得到()fx在区间[,]ab上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。()()fxxA的值域是[,]ab时，不等式()0fx恒成立的充要条件是max()0fx，即0b；不等式()0fx恒成立的充要条件是min()0fx，即0a。()()fxxA的值域是(,)ab时，不等式()0fx恒成立的充要条件是0b；不等式()0fx恒成立的充要条件是0a。（2）证明不等式()0fx可转化为证明max()0fx，或利用函数()fx的单调性，转化为证明0()()0fxfx。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。