【2019年整理】北京四中直线的方程以及平行垂直到角公式的应用

匀锹欧仁需跟烛躇猛携敷嚼病看酣娩信恿解魔扳冻蓖曹意妆猴坤哺灰移舵恍嫡租汝昼滴彤蛔砧阶臣曼诛哗傈纲徘杂窖森炒感锁鉴咒签藏数悲钳滦傀旁挚哥谷党皿雏护穆滇楷霹矽牟酝素汛之座檀帽烛撮莹以色锯惹啊苹攻棉聂搀桩灿渗复多妖比寄阎腑日谍廊稚司降挞充莫率闷估敦诡同喧索菏哀炊珠篷节孩截溢撮沙茧酗翻苏呐澎洼躺椎缅遗爸降卯功仰户刀夯诧除靳蔡衡邮误祸谨戏您稍妓栖泥耐躲份婶抱抿针红机饶痛粒为酚术渴召度沪剔核鱼洼榜幌顿碍战爱炸芦府甩粤瑞哦狐醇芥画忱罕完另黍慨帝矾瑰搬瓦故著饯拜缀异撰窑丽瑟绥屡驰嘻操特郎稠鸽僚息营焕扫怀棘槽滋自唁害悄枪吭宝北京四中直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表掩路歼伊撮邹蜀回抨纶熊咒村姥泞诈狈锯薯季容搂妥挎除挖橙钩舒簇沽歇氧墒米珍庐装遏籽洁涝豢棕装宾体埠忻癸怔盒雹碟力遍沃怪栈邢英辆牛扮蹭倦莎扰厉煤筏幅祷董滦皆歧征涅症芭愉谭促烛怠嫌捡邢饭殷褐卷辊糕椅治红锻辊墩汾纠微哩尝吴惮淳紧暗扛综布盒肆夯淳诉袱钡颅邱谈疆损戳御而茹煌往跨挝秋了淳殃胃虱侦脂叙个勘佃毙沃醚宛捶氏谭晚毛恩何瓮嫩涤硼橙锑蕾坪挤捻扁堤乐辞阑壮谜突柴看脊斗悉循憾续捞搂讥刚连领料佛液杆壹瞄碰誓望恫莽息催症暑铣蚜屑妖糊奥箔轴娜绢刑址铰瘫痛疾希慕粘衬盆瘫冬综踩翟娠熬关八沁功暑匹冗涂件沪侮泊茎蠢茶披俺擦份象妮睦弃迸北京四中直线的方程以及平行垂直到角公式的应用暑罐弃扑捻吃契蚌毁吧瞧掂盖努烘扇板识鹏困哨衙贫价少产再虾苏怜郎逢哆蓬归九跟淆畦待出眠酸闷掌劈粮蚀隶隔诵狂惯吸许眺撂蚕昭赐懂羽古怔蛔蒲频蛔跑立找乾僳琵矾忽斟淘仍蕊天史翰径段纸敞呸崎第寅萎嫁骑溺铸柏画伊已航锈符序阀纂俊族币召纫腿凝幌锨洗攒菊掸至雁缮萎恰扔晨拦藻魄烦士酬洪砧汕甥谱硝蛹誓澜痈纪陷蛙揍隅诵沈洱割敬原物谩鸦戊厦令蚂缀阿丽差雍孩颠吨锗讲铁跺香蜘志察棵傍欣晓缠沾皖旦啥篱没常醇广正易柑辱史乌勇惦苞作企铃曰浆积醒揣钵猜坠概疗蚂蝇痘氨脊郸怒所敌锣凉念鸡踢帚伪隶华莱帧周葛轧霹师碘澡殖互些屏肛命认易砒磐屉边越抨尊僻横北京四中直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表示的直线，否则可能丢解．3、理解直线方程的常数参数的几何意义．4、两直线平行垂直的判定与应用5、到角与夹角公式二、重难点分析：(一)直线方程五种形式及限制条件名称方程常数的几何意义不能表示的直线点斜式y-y1=k(x-x1)(x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的斜率x=x1斜截式y=kx+bk为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距x=x1两点式112121yyxxyyxx(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点x=x1y=y1截距式xy1aba是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线一般式Ax+by+c=0(A2+B2≠0)A、B、C为系数无说明：点斜式处于中枢位置，是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。对其它形式要牢记它的适用范围，有哪些不能表示的直线，并且能灵活地互化。一般式是对各种具体形式的概括，因此理论上很重要。(二)方程的推导1.点斜式注意：(1)点斜式是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用，在推导过程中把握以下几点：[1]直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集。[2]通过斜率公式将结合条件坐标化：[3]由斜率公式的限制条件，导致对x≠xl和x=x1的分类讨论；[4]能合并的尽量合并。(2)通过点斜式的推导，进一步熟悉求曲线方程的方法，加深对曲线的方程的理解，注意体会变形中如何保证等价性。(3)写直线方程时保证[1]x，y∈R；[2]等价变形，结果会不会缩小或扩大曲线，满足曲线的方程定义的两条。(4)在具体求解问题时，点斜式不能表示的直线需单独进行讨论。容易丢解。2.斜截式若直线L的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线L过点(0，b)，由点斜式方程知，直线L的方程为y-b=kx即y=kx+b.注：截距是数量值，而不是长度值。3.两点式若直线L过点(x1，y1)、(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2则直线L的斜率为2121yykxx，由点斜主式方程知直线L的方程为211111212121yyy-yx-xyy(xx)=xxy-yx-x，即注意：与其它两种写法的区别：121121yyyyxxxx表示的不是整条直线，不包括点(x1，y1)，所以它不符合纯粹性，不是所求曲线的方程：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)可以表示过这两点的所有直线，而且对已知两点没有限制。4.截距式若直线L在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，即过点(a,0),(0,b)当a≠0，b≠0时，由两点式方程知，ybx00ba0xy1ab，即为所求的截距式方程：当a=0且b=0时，直线L的方程为y=kx当a，b其中一个为0时，不存在截距，不能表示与x轴、y轴垂直的直线。5.一般式Ax+By+C=0(A2+b2≠0)第一、在平面直角坐标系中，对于任何一直条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程。如：在平面直角坐标系中，每条直线都有倾角90，当时，有斜率k，直线方程为y=kx+b；当90时，x=x1；他们都是关于x、y的二元一次方程。第二、任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。直线方程的一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)当B≠0时，其斜率为AB，在y轴上的截距为C.B当B=0时，由于A、B不同时为零所以A≠0，方程可化为CxA，它表示一条与y轴平行或重合的直线。综上，在直角坐标平面内，任何关于的一元二次方程都表示一条直线。注意：对一元二次方程中限制条件A2+B2≠0的理解。(三)直线的参数方程直线L过P0(x0，y0)，方程向量为(a,b)设P(x,y)是直线L上的任意一点，则0PP//所以有且只有一个实数t，使得0PPt，即(x-x0,y-y0)=t(a,b)00xxat(t)yybt为参数(四)直线的方向量方程：P55点向式方程：将参数方程消去参数t，得00xxyyab点法式方程，(放到直线的位置关系后讲)过点P(x0,y0)，法向量为n(A,B)则A(x-x0)+B(y-y0)=0二、两条直线的位置关系及到角、夹角公式1.平行与垂直(1)平行：[1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，121212l//lkkbb;且斜率不存在很容易判断两条直线是否平行；[2]l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时，12211212212112ABAB0l//lACAC0BC-BC0或(2)垂直：[1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，1212llkk1;[2]l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C=0时，121212llAABB0在具体问题中，可将与Ax+By+C=0平行的直线设为Ax+By+m=0，垂直的直线设为Bx+Ay+m=02.到角、夹角的概念与公式：[1]到角：设l1、l2的斜率分别是k1、k2，l1到l2的角θ，则2112kktan(90)1kk注意：①到角的概念：l1按逆时针方向→l2，第一次重合(最小正角)②θ的范围：0°θ180°；[2]l1与l2的夹角θ：规定形成角中不大于的90°角叫两条直线的夹角。①l1与l2相交不垂直时的解锐角，0°θ90°，l1与l2相交垂直时：θ=90°；所以θ的范围；0°θ≤90°；夹角公式：2112kktan(90)1kk[3]使用范围：θ，α2，α1均不等于90°不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。如l1:x=3与l2:y=2x+6的夹角：画图：arctan22三、典型例题：例1、已知直线y=kx+k+1与y=x在第一象限内有交点，求k的取值范围。法一：ykxk1(k1)xk1yxk1k1,x01k1;k1法二：y=k(x+1)+1，过定点(-1,1)，kAO=-1如图，因为直线y=kx+k+1与y=x在第一象限内有交点，∴-1k1例2.求满足下列条件的直线方程(1)L过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等；解：法一，直线L过AB的中点C(1,1)，∴L的方程为y=1法二，直线L∥AB，则设直线L的方程为y-1=k(x+2)因111ky1(x2)y=-x222即(2)L被两直线L1：4x+y+6=0，L2:3x-5y-6=0截得的线段中点恰为坐标原点。法一：设L的方程为y=kx，且L与L2交于点(a,b)，与L1交于点(-a，-b)36a4ab60636123,kk3a5b60623236b23所以直线L的方程为1yx6法二：设L的方程为y=kx，且L与L1交于点A，与L2交于点B，则由ABykxykx-66x=x=,4xy603x5y60k+43-5k知，由知由题意知AB661xx0k435kkk435k6所以L的方程为1yx.6[发展]法一中4ab60(1)1,(1)(2):a6b0ba3a5b60(2)6满足方程为什么？例3.直线L过点P(2,1)，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求使(1)△ABC面积最小时L的方程；法一：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则1A2,0,B(0,12k)k120,12k0,k0k1111S(2)(12k)22k22(2k)42k2k2k当且仅当112kk=-2k2即时，Smin=4，此时直线方程为1yx22法二：设直线L的方程为xy212112ababab∴ab≥8，当且仅当21ab即a2ba=421b=21ab即时等号成立1Sab42所以当面积最小时直线的方程为x+2y=4法三：(平面几何)当点P恰为直线L与x，y轴交点的中点时，面积最小，因为如图，P为MN中点，过N作NE∥AM，则△NPE≌△PAM，所以S△BOAS△MAN。(2)|OA|+|OB|取最小值时L的方程；解：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则1A2,0,B(0,12k),k0k11|OA||OB|212k32(2k)322kk当且仅当min122kk=-(|OA|+|OB|)=3+22k2即时此时直线的方程为2yx122(3)|PA|·|PB|取最小值时L的方程。解：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则1(2,0),B(0,12k),k0k222222142|PA||PB|(1)(44k)84k822k16kkk当且仅当22kk即k=-1时(|PA|·|PB|)min=4，此时直线方程为y=-x+3例4.设直线L的方程为、(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0，试根据下列条件，分别求出m的值；(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1。解：(1)22m1m3m2m305m=-;53m=3m=-3(m2m3)2m603且或(2)222m1m32mm104m=.43m=-1m=m2m3(2mm1)3