【数学函数秒杀秘诀】

1.函数的定义域（m为自变量）①m10m②mm0③m0=mm0m④Rmmn12（n是正整数）⑤02mmn（n是正整数）⑥logamm＞0⑦logmbm＞0且m1⑧malog1m＞0且m1⑨mamR⑩函数)(mf的定义域是ba,函数)(nf的定义域也是ba,（函数f（）小括号里面的任何代数式整体的地位都相同）函数定义域的秒杀秘诀：（整体法分析）在高考中或者平时的考试中求函数的定义域，往往是以x的代数式出现的，上面10个秘诀就是把x的代数式形式看成一个整体m1.函数)(xf11x的定义域是_____________（秒杀秘诀①）解：1xm1x正确答案是,11,2.函数)(xf2log12x的定义域为_________（秒杀秘诀⑧）解：x0,log22x0,0x且x4正确答案是,44,03.函数)(xf0)1(12xx的定义域是___________（秒杀秘诀⑤与③）解：12x01,0x1,21xx正确答案是,11,214.函数)(xf25x的定义域是___________（秒杀秘诀④）解：由秒杀秘诀④2x为任何实数RRx正确答案是,5.函数)1(xf的定义域为3,2，则)12(xfy的定义域是________（秒杀秘诀⑩）解：41132xmx12xn与m的范围相同2505204121xxx正确答案是25,0学生心得与体会：xyOxyO2.1二次函数1.cbxaxxfy2)(（a的符号决定了二次函数的开口方向）（1）0a(2)0a学生心得与体会：xyOxyOxyO2.二次函数的三种解析式（1）交点式))(()(21xxxxaxf秒杀秘诀1：已知)(xf与x轴的交点2,1xx与a，用交点式求二次函数的解析式（2）顶点式khxaxf2)()(秒杀秘诀2：已知)(xf的顶点（kh,）与a，用顶点式求二次函数的解析式（3）一般式cbxaxxf2)(秒杀秘诀3：已知)(xf上的三个点的坐标，用一般式求二次函数的解析式xyO2.二次函数的对称轴与二次函数的单调性（1）对称轴是abx2学生心得与体会：xyO二次函数3.二次函数的单调性对称轴（1）看图发现二次函数的总增区间是二次函数单调递增的全集集合AA秒杀秘诀4：若题目告诉二次函数在集合B对应的区间单调递增，则集合B必定是全集集合A的子集即BA（集合思想，也叫子集思想）（2）看图发现二次函数的总减区间是二次函数单调递减的全集集合Aabx2cbxaxxf2)(,2abab2,xyOxyO秒杀秘诀5：若题目告诉二次函数在集合B对应的区间单调递减，则集合B必定是全集集合A的子集即BA（集合思想，也叫子集思想）4.二次函数的值域（1）当自变量Rx时，cbxaxxf2)(cabaabxa2224)2(①0a时aaacbaacbabxacababxaxf44444)2(4)2()(22222此时)(xf有最小值（判别式acb42）这样在推导理解之后更好记忆②0a时aaacbaacbabxacababxaxf44444)2(4)2()(22222此时)(xf有最大值（判别式acb42）这样在推导理解之后更好记忆由右图数形结合发现0a时，)(xf有最小值a4a4由右图数形结合发现0a时，)(xf有最大值xyO秒杀秘诀6：（2）当自变量x不是任何实数R时，二次函数)(xf的值域要通过数形结合的方法分析5.二次函数的恒成立问题与存在性问题（1）二次函数的恒成立问题①二次函数0)(xf对Rx恒成立（易错点）秒杀秘诀7：0)(xf是0)(xf或0)(xf的“p或q”形式的复合命题当0时p:0)(xf是真命题,q：0)(xf是真命题，0)(xf是真命题当0时p:0)(xf是真命题,q：0)(xf是假命题，0)(xf是真命题所以最后取并集0xyO当Rx时，不管0a还是0a，二次函数)(xf的最小值或者最大值都是a4（acb42）由右图分析开口向上0a判别式0000xyOxyO（秒杀秘诀7与秒杀秘诀8容易混淆，下面是我的注解）易错点：cbxaxxf2)(的值域是,0（秒杀秘诀8）解：)(xf值域是,0就是)(xf的值取遍0和所有的正数由左图分析0,0a主要区别：秒杀秘诀7.0)(xf是一种“p或q”形式的复合命题秒杀秘诀8.)(xf值域是,0就是)(xf的值取遍0和所有的正数所以秒杀秘诀7与秒杀秘诀8是截然不同的②二次函数0)(xf对Rx恒成立秒杀秘诀9：由右图分析开口向上0a)(xf与x轴没有交点，判别式0xyOxyOxyO③cbxaxxf2)(的值域是0,（秒杀秘诀10）解：)(xf值域是0,就是)(xf的值取遍0和所有的负数由左图分析0,0a④二次函数0)(xf对Rx恒成立秒杀秘诀11：⑤已知d为常数，)(xf为二次函数，)(xfd的定义域为全体实数R二次函数0)(xf对Rx恒成立秒杀秘诀12：由右图分析开口向下0a判别式0)(xf与x轴没有交点，判别式000xyOxyO（2）：二次函数的存在性问题也叫二次函数的有解问题①已知二次函数)(xf，0a，0)(xf有解秒杀秘诀13：②已知二次函数)(xf，0a，0)(xf有解秒杀秘诀14：由右图分析)(xf与x轴有2个交点，判别式0由右图分析)(xf与x轴有2个交点，判别式0xyO二次函数经典例题1.已知cbxxxf2)(，0)2()1(ff,求)(xf的解析式（秒杀秘诀1）解：由交点式23)2)(1()(2xxxxxf2,3cb23)(2xxxf2.已知cmxxxf2)(2，)(xf在,1单调递增，则m的取值范围是_______（秒杀秘诀4）解：由题意)(xf的总增区间是,m,1,m1m正确答案是1,3..已知cmxxxf2)(2，)(xf在2,单调递减，则m的取值范围是_______（秒杀秘诀5）解：由题意)(xf的总减区间是m,2,m,2m正确答案是,24.12)(2mxmxxf的值域是,0，求m的值（秒杀秘诀8）解：)(xf值域是,0就是)(xf的值取遍0和所有的正数由左图分析0,0m10442mmm或0m（舍去）1m正确答案是1m此题是易错题：第8页和第9页有注解区别秒杀秘诀7与秒杀秘诀80-6-5-4-3xyOxyO5.12)(2mxmxxf0恒成立，求m的取值范围（秒杀秘诀7）解：①当0m时，1)(xf0恒成立0m符合②当0m时，)(xf为二次函数，由右图分析0,0m100442mmm由①②可以10m正确答案是1,06.)(xgmmxx21的定义域为全体实数R，求m的取值范围(秒杀秘诀11)解：由题意02mmxx对全体实数R恒成立即)(xfmmxx2与x轴没有交点0)4(42mmmm40m正确答案是4,07.若存在实数x使mmxxxf2)(0，求m的取值范围（秒杀秘诀12）解：由题意及右图0)4(42mmmm0m或4m正确答案是,40,xyOxyO3.指数运算及指数函数1.指数运算①nmnmaaa②mnnmaa)(③nnnbaba)(④nnaa1⑤na1)(an⑥nmnmaa1)()(mna2.指数函数xaxf)()1,0(aa（1）1a①图像如右图②定义域：Rx③单调性：在定义域Rx单调递增④值域：,0⑤易错点：当0x时由图1)(0xf（秒杀秘诀1）（2）10a①图像如右图②定义域：Rx③单调性：在定义域Rx单调递减④值域：,0⑤易错点：当0x时由图1)(0xf3.指数函数的复合性（复合函数）)()(xhaxf，)(xh的增区间是A，)(xh的减区间是B（秒杀秘诀2）（1）1a)(xf的增区间是A，)(xf的减区间是B（秒杀秘诀3）（2）10a)(xf的增区间是B，)(xf的减区间是A4.指数函数的单调性（秒杀秘诀4）（1）1a)(xf在R上单调递增2121)()(xxxfxf此时)0(1)(fxf0x（1一般都写成)0(f的形式）（秒杀秘诀5）（2）10a)(xf在R上单调递减2121)()(xxxfxf此时)0(1)(fxf0x（1一般都写成)0(f的形式）学生心得与体会：1.若关于x的方程15mx有负根，则m的取值范围是___________解：（秒杀秘诀1）由题意0x150x01110mm正确答案是0,12.当0x时，函数xaxf)23()(1恒成立，求a的取值范围解：xaxf)23()(1=0),0()()0()23(0xfxffa（秒杀秘诀4）xaxf)23()(是增函数1123aa正确答案：a的取值范围是,13.求函数xxxf22)31()(的单调区间解：（秒杀秘诀3）131a，令)(xh=xx22=1)1(2x)(xh的增区间是,1，)(xh的减区间是1,)(xf的增区间是1,，)(xf的减区间是,1学生心得与体会：4.对数运算及对数函数1.对数运算),(21ttaNaM（1）11loglogtaMtaa（2）NaNalog证明：NaaattaNaa22loglog（3）)(logloglogMNNMaaa证明:左边2121loglogttaatata,右边212121log)(logttaaattatta，左边=右边原命题成立（4）)(logloglogNMNMaaa证明:左边2121loglogttaatata,右边212121log)(logttaaattatta，左边=右边原命题成立（5）)(loglogRxMxMaxa证明:左边111log)(logxtaaxtaxta,右边11logxtaxta，左边=右边原命题成立换底公式),(21ttaNaM（6）aMMbbalogloglog证明:左边11logtata,令右边x11logloglogloglogtxaaMaaxMxaMtxxbbbbb右边左边1t原命题成立（秒杀秘诀1）应用①当10b时NMaMaMMbbalglglogloglogloglog1010（秒杀秘诀2）应用②当eb时NMaMaMMbbalglglogloglogloglog1010NMMalglglogNMMalnlnlog（秘诀秘诀3）应用③（互为倒数）1lglglglgloglogbaababba（秒杀秘诀4）应用④NmnamNnaNNamnnamloglglglglglog1.4log9log32________解：4log9log3223222log3log4142log3log2232正确答案是42.10log21