一元一次方程知识点及经典例题

1一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有_____________的______叫方程注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0(2).1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤具体方法变形根据注意事项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21．不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则1．分配律应满足分配到每一项2．注意符号，特别是去掉括号移项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“bax”的形式（0a）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a，得abx等式性质2分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。牛刀小试例1、解方程（1）y-52221yy例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104xx的解与方程522xm的解相同，求m的值.例3、解方程知识与绝对值知识综合题型解方程：73|12|x3二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8举一反三：[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2(2x-x2)[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是()A．－5B．5C．7D．2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1．巧凑整数解方程：2、举一反三：[变式]解方程：＝2x－52．．巧去括号解方程：4、举一反三：[变式]解方程：44．运用拆项法解方程：5、5．巧去分母解方程：6、举一反三：[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为(__________________________)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(__________________________)去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________）(____________________),得9x-4x=-15-2.(____________________________)合并，得5x=-17.(合并同类项)（____________________）,得x=.（_________________________）6．巧组合解方程：7、思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。7．巧解含有绝对值的方程：8、|x－2|－3＝0思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。举一反三：【变式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是________.5；[变式2]5|x|-16＝3|x|-4[变式3]8．利用整体思想解方程：9、思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。参考答案例1：解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三1.解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是2.解析：分两种情况：（1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0（2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0不可能综上，a的值为。3.答案：B例2.解：移项，得。合并同类项，得2x＝－1。系数化为1，得x＝－。举一反三解：原方程可变形为＝2x－5整理，得8x＋18－(2＋15x)＝2x－5，去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－56移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2合并同类项，得－9x＝－21系数化为1，得x＝。例4解：去括号，得去小括号，得去分母，得(3x－5)－8＝8去括号、移项、合并同类项，得3x＝21两边同除以3，得x＝7∴原方程的解为x＝7举一反三解：依次移项、去分母、去大括号，得依次移项、去分母、去中括号，得依次移项、去分母、去小括号，得，∴x＝48例5解：原方程逆用分数加减法法则，得移项、合并同类项，得。系数化为1，得。例6解：原方程化为去分母，得100x－(13－20x)＝7去括号、移项、合并同类项，得120x＝20两边同除以120，得x＝7∴原方程的解为总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三【答案】解：原方程可变形为(_分式的基本性质_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(_等式性质2_)去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）(______移项_______),得9x-4x=-15-2.(等式性质1_)合并，得5x=-17.(合并同类项)（_______系数化为1____）,得x=.（等式性质2）例7解：移项通分，得化简，得去分母，得8x－144＝9x－99。移项、合并，得x＝－45。例8解法一：移项，得|x－2|＝3当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5当x－2＜0时，原方程可化为－(x－2)＝3，解得x＝－1。所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：x＝5或x＝－1。解法二：移项，得|x－2|＝3。因为绝对值等于3的数有两个：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。举一反三1.【答案】2.解：5|x|-3|x|＝16-42|x|＝12|x|＝6x＝±63.解：|3x-1|＝83x-1＝±83x＝1±83x＝9或3x＝-7x＝3或8例9解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化1得：总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。三、课堂练习一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2=x3;(2)0.3x=1;(3)2x=5x-1;(4)x2-4x=3;(5)x=0;(6)x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）A2B3C4D52、下列四组变形中，正确的是（）A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0C由6x=2,得x=31D由5x=7,得x=353、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）A56小时B65小时C2小时D3小时4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）A7x=x+5B7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x5、下列方程的变形中，是移项的是（）A由3=25x，得25x=3B由6x=3+5x，得6x=5x+39⑤6x；⑥20xy．其中一元一次方程的个数是（）．A．2B．3C．4D．513、已知关于x的方程5(21)axax的解是1x，则a的值是（）．A．-5B．-6C．-7D．814、方程3521xx移项后，正确的是（）．A．3251xxB．3215xxC．3215xxD．3215xx15、方程2412332xx，去分母得（）．A．22(24)33(1)xxB．123(24)183(1)xxC．12(24)18(1)xxD．62(24)9(1)xx16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2．5km，则乙的时速是（）．A．12．5kmB．15kmC．17．5kmD．20km17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25％，另一件赔25％，那么这两件衣服售出后商店是（）．A．不赚不赔B．赚8元C．亏8元D．赚15元二、填空题：1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为。2、已知方程（m-2）x1m+5=9是关于x的一元一次方程，则m=.3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是。4、3a32mb4与2am6b4是同类项，则m=.5、若yx+（y+1）2=0,则x-y=.6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利10元，那么原来标价为。7、当x=时，1528x的值是0.1011三、一元一次方程应用题（找出等量关系）一、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。例1、若三个连续的偶数和为18，求这三个数。例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大3