一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习这一内容。一、一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程cbxax2)0(a用配方法可得22244)2(aacbabxacb42称为根的判别式0则方程有两个不相等的实数根0则方程有两个相等的实数根0则方程没有实数根反过来也成立根的判别式主要用来解决以下两类问题⑴不解方程，判断方程实数根的情况；⑵根据方程实数根的情况，确定方程中某一字母系数的取值范围。例1不解方程判断下列关于x的一元二次方程根的情况⑴xx62232⑵xx221232⑶02bxax⑷4422mmxx解：运用判别式先要将方程化为一般形式⑴026232xx0234)62(2方程有两个相等实数根⑵0122232xx02232xx0382234)2(2方程没有实数根⑶方程是一元二次方程0a0c00422bab方程有两个实数根⑷0)1(422mmxx0)2(416164)1(414)2(222mmmmm方程有两个实数根例2一元二次方程022)1(2mmxxm有两个实数根，则m的取值范围是。解：错误解法)2)(1(4)2(2mmm=)2(4422mmm=0)2(4m2m注意：应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有字母时，要加上二次项系数可为0这个限制条件。正确解法001m23mm2m且1m例3关于x的一元二次方程012)13(2mxmmx其根的判别式的值为1，求m的值。解：)12(4)13(2mmm=122mm1122mm022mm01m22m注意0m舍去0m2m例4已知关于x的方程02)1(2mmxxm有实数根，求m的取值范围。解：注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。⑴01m1m方程为一元一次方程012x有一个实根21x⑵01m1m方程为一元二次方程04)1(4)2(2mmmm0m且1m时方程有两个实数根综上，当0m时方程有实根。小结：⑴应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不为0；⑵应用判别式应将方程化为一般形式；⑶注意有实根和有两个实根的区别。二、一元二次方程根与系数的关系如果1x，2x是方程02cbxax（0a）的两个根则有abxx21acxx21一元二次方程根与系数的关系是初中数学中重要的基础知识，主要用来解决以下四类问题：⑴利用两根关系确定方程的系数；⑵不解方程，求某些关于根的代数式的值；⑶根据根系关系构造新方程；⑷判断方程两根的符号。应用根系关系要注意定理的前提条件：①方程应为一元二次方程，注意二次项系数0a②在有实数根的条件下0例5已知关于x的一元二次方程0)32(22mxmx有两个不相等的实数根，满足111求m的值解：∵111即1∴又)32(m2m2)32(mm解之得31m12m当3m时0当1m时014)312(2舍去∴3m例6已知方程0132xx的两个根为,，求的值。解：∵5114320∴30，10∴0，0∴=22=2211=11=11==3例7已知方程0142xx的两个实数根为,，求作一个以1122和1122为根的一元二次方程。解：首先4420方程有两个不等实根法14，112)(2)1)(1()1()1(1111222222442222222222142162)(2221942142)(222222441122+1122=141141214219411221122=1∴所求方程为01142yy法2注意到,均为原方程的根0142412014241244441111222222这样计算较为简单。一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（二）例8⑴已知实数ba且012aa，012bb，求ba的值。解：由已知ba,是方程012xx的两个不等实根1ba⑵已知012pp，012qq且1pq，求qpq1的值。解：由012pp及012qq可知0p，0q又1pqqp1由012qq01)1()1(2qq又012ppp与q1可看作方程012xx的两个不等实根111qpqpq⑶已知实数ba,分别满足222aa，222bb，求ba11的值。解：依题意ba,都是方程0222xx的实数根①当ba时ba,是0222xx的两个不等实根2ba2ab111abbaba②当ba时ba,是0222xx的同一个实数根31x当ba=1+3时13312211aba当ba=1-3时31312211aba例9已知21,xx是一元二次方程0122mxx的两个实数根，且满足12121xxx，求m的值。解：221xx不对称，利用根系关系1)(211xxx211x21x代入方程，可求出47m当47m时，1)147(440∴47m例10已知关于x的一元二次方程042142mmxx，若21,xx为方程的两个实数根，且满足08221622121xmmxx，求m的值。解：已知421mxx，1821mxx，不对称，利用方程和根系关系)18(2)4(22221mmxx，04214121mmxx，8221622121xmmxx=4)(242142221121xxmmxx=04)18(4)4(22mm02)18(2)4(2mm042mm01m，42m6482mm当4,0m时0∴0m或4例11已知：关于x的一元二次方程022caxax的两个实数根之差的平方为m，⑴试分别判断当3,1ca与2,2ca时，m4是否成立，并说明理由。⑵若对于任意一个非零的实数a，4m总成立，求实数c及m的值。分析：求一元二次方程两根差的方法有两种①求出21,xx，221)(xx易得②221)(xx=212214)(xxxx由根系关系可得解：⑴当1a，3c时，原方程为0322xx11x，32x，16)(221xxm4成立当2a，2c时，原方程为02422xx224420221xx，2221xx221)(xxm212214)(xxxx=2244不成立⑵设方程的两个实数根为21,xx221xx，acxx21∴221)(xxm212214)(xxxx=ac44对于任意非零实数a，ac44∴ac40∴0c当0c，24a0∴0c，4m例12已知关于x的两个方程0)4()4(22mxmx①和0)3()2(2mxnmx②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根。⑴求证：方程②的两根符号相同；⑵设方程②的两根分别为,，若2:1:，且n为整数，求m的最小整数值。分析：利用判别式和根系关系可判别方程两根符号①若00ac两根同号此时当ab0，两根同为负数当ab0，两根同为正数②若ac0两根异号此时当ab0，正根绝对值小于负根绝对值当ab0，正根绝对值大于负根绝对值当ab=0，两根绝对值相等③若ac=0即0c两根至少有一个为零此时当ab0，另一根必为负数当ab0，另一根必为正数当ab=0，即0b另一根也为零⑴证明：设21,xx为方程①的两个实数根由已知00021211xxxx即0240240)4(24)4(2mmmm解得m4由方程②有两个实根可知0m∴当m4时，mm30，方程②有两根之积为正。∴方程②有两根符号相同。⑵2:1:2mmmnm322302mn32mmmn3)32(22)3(29)2(2mmn由⑴m4，又m为整数当5m时45)2(2nn不是整数当6m时81)2(2n11n或7n当11,6nm时)3(4)2(22mmn0当7,6nm时)3(4)2(22mmn0∴m的最小整数值为6小结：⑴在使用根系关系时，要注意前提条件：二次项系数0a，判别式0。⑵求和两根有关的代数式：如果是对称式，可用根系关系；如果不是对称式，可考虑利用方程和根系关系相结合。⑶根系关系和判别式相结合可判断两根的符号。