一元二次方程难题解析

一元二次方程难题解答（一）1.已知m是方程022xx的一个根，则代数式)12)((2mmmm的值是______解：m是方程022xx的一个根022mm即22mm0m方程两边除以m得：021mm12mm4)11(2)12)((2mmmm2.已知ax是方程0120162xx的一个根，求代数式12016140312222aaaa的值解：ax是方程0120162xx的一个根0120162aa120162aa或aa20161212016140312222aaaa=aaaaa2016201614032222aaaa1)2016(2211)1(23.关于m的方程02722mnnm的一个根为2，求22nn的值。解：由题意得：2m把2m代入方程得：022742nn整理得：01722nn方程两边除以n得：0172nn721nn方程两边平方得：281222nn2622nn4.已知36)41(222mm，求mm1的值。解：36)41(222mm64122mm10122mm或2122mm（舍去）102)1(2mm即8)1(2mm221mm5.用换元法解下列方程：（1）0)1(3)1(222xx解：设yx12，则原方程为032yy0)3(yy3021yy当0y时，012x1x当3y时，312x2x原方程的解为22114321xxxx6.设yx、为实数，求542222yyxyx的最小值，并求出此时x与y的值。解：542222yyxyx1)44()2(222yyyxyx1)2()(22yyx0)2(0)(22yyx11)2()(22yyx当020yyx即22yx时，该式的最小值为17.关于x的方程)0(0)(2mkhmkhxm均为常数，、、的解是31x22x，求方程0)3(2khxm的解。解：0)(2khxmmkhx2)(mkhxmkhx3mkh2mkh0)3(2khxmmkhx2)3(mkhx33mkhx0331x5322x8.对于*，我们作如下规定：2*22baba，试求满足10*)12(xx的x的值。解:由题意得：102)12(22xx0214422xxx07432xx0)73)(1(xx07301xx37121xx9.解含绝对值的方程：解方程：0112xx解：当01x时，即1x，11xx原方程化为01)1(2xx即02xx解得：1021xx1x，故是原方程的解舍去）1(021xx当01x时，即1x，xx11原方程化为01)1(2xx即022xx解得：2121xx1x，故是原方程的解舍去）2(121xx综上所述，原方程的解为2,121xx10.解方程：1)1(2122xxxx解：配方得：03)1(2)1(2xxxx设yxx1，原方程可化为0322xy，解得1321yy当31y时，31xx，即0132xx，解得253x当12y时，11xx，即012xx，方程无实数解。经检验：2531x，2532x是原方程的解。11.解方程：1221222xxxx解：01212222xxxx设yxx22，则原方程可化为0112yy，0122yy，解得：3421yy当41y时，422xx，即0422xx，此方程无实数解当32y时，322xx，即0322xx，解得：1,321xx经检验：1,321xx是原方程的解。17.已知关于x的一元二次方程0)(2)(2cabxxca，其中ca、、b分别为△ABC三边的长。（1）如果1x是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。解：（1）把1x代入方程得：02cabcababa即022△ABC为等腰三角形（2）2222222444)(44))((4)2(cabcabcacab又方程有两个相等的实数根0444222cab即222acb△ABC为直角三角形(3)当cba时，原方程化为02xx解得：1021xx18.已知关于x的方程的方程01)1(2)3(12xmxmm（1）m为何值时，原方程是一元二次方程？（2）m为何值时，原方程是一元一次方程？解:(1)由题意得：21032mm解得3m方程时，原方程为一元二次当3m（2）当原方程是一元一次方程时，m的值应分三种情况讨论：①0)1(203mm解得3m②0)1(23112mmm解得2m③0)1(2012mm解得1m综上所述：当22,1,3或m时，原方程是一元一次方程。19.用配方法求二次三项式的最大值与最小值)1(当x为何值时，代数式1222xx有最小值？并求出最小值121)21(2141)21(21)4141(21)(212222222xxxxxxxx23)21(22x0)21(22x2323)21(22x当21x时，代数式1222xx有最小值23（2）当x为何值时，代数式4632xx有最大值？并求出最大值解：7)1(34)112(3463222xxxxx0)1(32x77)1(32x当1x时，代数式有最大值7.20.若a满足不等式组021112aa，则关于x的方程021)12()2(2axaxa的根的情况是______________________解：解不等式组得3a2a则方程为一元二次方程52)21)(2(4)12(2aaaa3a152a即0关于x的一元二次方程没有实数根。21.关于x的一元二次方程0112xkx有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解由题意得：04)1(012kk511kk1k22.关于x的方程012mxmx有以下三个结论：①当0m时，方程只有一个实数根；②当0m时，方程有两个不相等的实数根；③无论m取何值时，方程都有一个负数解；其中正确的是______________解：①当0m时，原方程为101xx方程只有一个实数根②当0m时，0)12(144)1(4122mmmmm方程有两个实数根③当0m时，1x当0m时，mmmmx2)12(12)12(1211121xmx无论m取何值时，方程都有一个负数解23.关于x的方程068)6(2xxa有实数根，则整数a的最大值是___________解：当6a时，原方程为43068xx当6a时，020824)6(2464aa438a整数a的最大值是824.已知关于x的一元二次方程mxx)2)(3(，求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根。解：（1）mxx)2)(3(0652mxx014)6(4)5(2mm对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根（2）把1x代入原方程得：m)21)(31(2m原方程为2)2)(3(xx41045212xxxx2m，方程的另一根为4x25.已知关于x的方程022)13(22kkxkx，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长6a，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。解：1）0)1(1288169)22(4)13(222222kkkkkkkkkk无论k取何实数值，方程总有实数根（2）2)1(132)1(132kkkkx1221kxkx当cb时，方程有两个相等的实数根，即112kkk2cb622不能构成三角形。当腰长为6时，62k3k41k16466ABCC或102561kkk221066ABCC综上所述：16ABCC或2226.若关于x的方程mxmx4)5(2恰好有3个实数根，则实数________m解：04)5(2mxmx方程恰好有3个实数根0021xx404mm27.若关于x的方程0)2(22axaax有实数根，则实数a的取值范围________解：当0a时，原方程为04x方程有解0x当0a时，8848844)2(22222aaaaaa方程有实数根088a1a综上所述：1a28.如果关于x的一元二次方程01122xkkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围_________________解：由题意得：08)12(01202kkkk解得：2121k且0k29.设方程42axx只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。解:4422axxaxx或040422axxaxx或01621a第一个方程有两个不相等的实数根1622a原方程只有3个不相等的实数根，02即40162aa当4a时，04404422xxxx或2222222321xxx当4a时，04404422xxxx或2222222321xxx综上所述：4a，当4a时，2222222321xxx当4a时，2222222321xxx30.已知函数xy2和)0(1kkxy，（1）若这两个函数图象都经过点）a,1(，求a和k的值。（2）当k取何值时，这两个函数总有公共点？解：（1）函数xy2经过点）a,1(2a该点为)2,1(112kk（2）12kxyxy022xkx两个函数总有公共点方程有实数解0810kk解得：081kk且31.已知关于x的一元二次方程02)12(22kxkx的两根为1x和2x，且0))(2(211xxx，求k的值。解：0))(2(211xxx002211xxx当21x时，把21x代入原方程得：02)12(242kk整理得：0442kk解得：2k当021xx时，方程有两个相等的实数根，即0)2(4)12(22kk解得：49k综上所述：2k或4931.(1)已知：012pp，012qq，且1pq，求qpq1的值。解：由012pp，012qq00qp又1pqqp1012qq可化为011)1(2qq0