七年级-第十讲：行程问题经典例题

第十讲：行程问题分类例析主讲：何老师行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道).相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快SSS.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流.一、相遇问题例1：两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行使48km，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程.解答：设甲车共行使了xh，则乙车行使了hx)(6025.（如图1）依题意，有72x+48)(6025x=360+100,解得x=4.因此，甲车共行使了4h.说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会.例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题.顺风中的速度=静风中速度+风速逆风中的速度=静风中速度-风速解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回.依题意，有642557525575.xx解得:x=1320.答:这架飞机最远飞出1320km就应返回.解法二:设飞机顺风飞行时间为th.依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),解得:t=2.2.(575+25)t=600×2.2=1320.答:这架飞机最远飞出1320km就应返回.图1说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有645752.x,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是)/(hkmvvvvvxvxx574550600550600222逆顺逆顺逆顺例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度分别为21km/h、14km/h.(1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?(2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇?分析:这是环形跑道的行程问题.解答:(1)设经过xh两人首次相遇.依题意,得(21+14)x=42,解得:x=1.2.因此,经过1.2小时两人首次相遇.(3)设经过xh两人第二次相遇.依题意,得21x-14x=42×2,解得:x=12.因此,经过12h两人第二次相遇.说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.从同一地点出发,相遇时,追及路程或相隔路程就是环形道的周长,第二次相遇,追及路程为两圈的周长.有趣的行程问题【探究新知】例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？分析与解：出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.30÷（6＋4）＝30÷10＝3（小时）答：3小时后两人相遇.本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程＝速度和×时间.例2、如右下图有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈？（第二届希望杯试题）分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追及问题问题中有一个基本关系式：追击路程=速度差×追及时间。追及路程：10＋6=16（米）速度差：5－4.5=0.5（米）追击时间：16÷0.5=32（秒）甲跑了5×32÷[（10＋6）×2]=5（圈）答：甲跑了5圈。例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？分析与解：货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.解：①甲、乙两地之间的距离是：45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）＝45×6＋60×4＝510（千米）.②客车行完全程所需的时间是：510÷（45＋15）＝510÷60＝8.5（小时）.③客车到甲地时，货车离乙地的距离：510—45×（8.5＋2）＝510－472.5＝37.5（千米）.答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.例4、两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长？分析与解：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.解：（10＋15）×14＝350（米）答：乙车的车长为350米.例5、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？分析与解：解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250—210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25—250＝250（米），从而可求出错车时间。解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速度为：（250－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米）两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：错车时间为10秒.例6、甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B地、A地。甲每小时行32千米，乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。问：(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?(3)他们可用对讲机联络多长时间?（第四届希望杯试题）分析与解：(1)(260-20)÷(32+48)=3(小时)。(2)20÷(32+48)=0.25(小时)。(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可用对讲机联络0.25+0.25=0.5(小时)。例7、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？分析与解：甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.解：①AB间的距离是64×3－48＝192－48＝144（千米）.②两次相遇点的距离为144—48－64＝32（千米）.答：两次相遇点的距离为32千米.※例8赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？（第五届希望杯试题）分析与解：赵伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度为3千米，下山速度为6千米，上山与下山的平均速度是多少？（这是一个易错题）可以通过“设数”的方法让四年级同学明白。设上山路程为6千米，（想一想为什么设6千米？还可以设几千米？）上山时间为：6÷3=2（时）下山时间为：6÷6=1（时）上下山的平均速度为：（6＋6）÷（2＋1）=4千米又因为平路的速度也为4千米/小时，所以赵伯伯每天锻炼走的路程为：4×3=12千米。【挑战自我】1、小明、小华和小新三人家在同一条街道上，小明家在小华家西300米处，小新家在小明家东400米处，则小华家和小新家相距多少米？（第三届希望杯试题）答案：画图得100米。2、小明家离学校2千米，小光家离学校3千米，小明和小光的家相距多少千米？（第一届希望杯试题）答案：1千米与5千米之间。分类讨论，一题多解。当小明家与小光家在同一侧时，距离最近为1千米。当小明家与小光家方向相反时，距离最远为5千米。但是小明和小光家可能不在一条直线上，所以小明与小光家的距离应在1千米至5千米之间。3、甲乙两个港口相距400千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20小时可到达乙港。已知顺水船速是逆水船速的2倍。有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时。轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？（第四届希望杯试题）答案：顺水速度是400÷20=20（千米）逆水速度是20÷2=10（千米）反向航行一段距离顺水时用的时间是9÷（2＋1）=3（小时）比正常情况多行驶的路程是20×3×2=120（千米）4、两列相同而行的火车恰好在某站台相遇。如果甲列车长225米，每秒行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒。求：（1）乙列车长多少米？（2）甲列车通过这个站台用多少秒？（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？（第二届希望杯试题）答案：（1）乙列车长180米（2）甲列车通过这个站台用多9秒（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了4秒5、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶，甲车如果每小时行60千米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行驶多少千米？（第三届希望杯试题）答案：乙车每小时行驶45千米。【综合练习】1、甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？答案：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小时）.2、小明家在学校东400米处，小红加在小明家的西200米处，那么小红家距离学校多少米？（第三届希望杯试题）答案：画图解题，小红家距学校20