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一、提出问题：甲、乙两个班，原来甲班比乙班多20人．现在学校从甲班抽调14人去乙班，则甲班人数正好是乙班人数的7/8，求甲、乙两个班的现有人数．算术解法：甲班原比乙班多20人，乙班现比甲班多14×2-20（人），相当于乙班现有人数的.因此，乙班现有人数为，甲班现有人数为)871()(64)871()20214(人).(568764人代数解法：设甲班现有x人，则乙班现有x+14×2-20=x+8（人），因此，即甲班现有56人，乙班现有64人.).(56,)8(87人xxx对比两种解法可以看出：算术解法是把未知量置于特殊地位，设法用已知量组成的混合运算式表示出来(在条件较复杂时，列出这样的式子往往比较困难)；代数解法是把未知量与已知量同等对待(使未知量在分析问题的过程中也能发挥作用)，找出各量之间的等量关系，建立方程．因此，代数解法的“直截了当”比算术解法的“拐弯抹角”要方便得多．但是，在由算术解法向代数解法转化的过程中，同学们原来的思维定势不同程度的成为接受新思想的障碍，算术解法的思想会时隐时现．要充分发挥代数解法的优越性，必须有意识地进行对比性训练解题，使同学们从思想上认识到学习代数解法的必要性，而自觉地运用．二、知识梳理：1、列方程解应用题:学习列方程解应用题是十分重要的，首先从学习内容上讲，中学数学的学习离不开方程，离不开利用列方程来解决应用问题，特别是我们已经明确了这样一种思想：学习数学重在应用．因此列方程解应用题中蕴含的思想方法对学习者而言是十分重要的．第二，通过列方程解应用题可以培养和提高分析问题和解决问题的能力．这对于一个人的发展也是十分重要的．列方程过程的实质有多种说法：如“通过分析，找出等量关系，而列出方程”，或“把题目中蕴含的相等关系找出来，列出方程”．这些说法都指明了列方程的方向——找出相等关系．一般步骤如下：(1)审题、弄清题意，分清哪些是已知量，哪些是未知量．(2)设未知数，选一个适当的未知量设为未知数x．(3)列方程．(4)解所列的方程．(5)根据题意，作出答案．具体可从以下三条途径出发研究解决：(1)图解分析：分析问题中的数量关系时，借助图形，可以使抽象的关系直观化、简单化，根据题意画图列式是对同学们的思维能力的有效培养．这里，应要求“图要达意”，避免图上发生错误而造成列式错误．(2)列表分析：列表法的优点是通过列表归类使对应量之间关系较为清晰，往往有利于运用比例分析法显示解题思路．(3)框图分析：框图分析是由文字语言、符号语言及长方格通过题中相等关系确立而成，容易操作，不拘一格。例1、某连队从驻地出发前往某地执行任务．行军速度是6千米/时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达给连队．小王骑自行车以14千米/时的速度沿同一路线追赶连队．问是否能在规定时间内完成任务．例2、汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时．已知此船在静水中速度为18千米/时，水流速度为2千米/时．求甲、乙两地间的距离．2、抓住“不变量”解应用题列方程解应用题的关键是寻找数量间的相等关系，这要从分析题中的基本量入手去寻找．一般说来，一个问题中有几种基本量就可以找出几种相等关系．但有些应用题中的相等关系不外露，如能抓住问题中的“不变量”即可得到相等关系，从而列出方程，甚至能找出多种解法，拓宽解题思路．例3、某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，则可超额10个．求规定加工的零件数和计划加工的天数．分析：本题每天加工的零件数是变量，实际做的工作总量也随着变化，但有两个不变量，即计划加工的时间不变，规定任务不变，这就是题目中的等量关系，故可得到两种解法．例4、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回要12小时，才能到达甲地，已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两地的距离．分析：本题中甲、乙两地间的距离与轮船本身的速度(静水速度)是“不变量”，分别抓住这两个“不变量”即得两种不同的等量关系．可从两个不同方面设出未知数．3、用整体思想解应用题数学崇尚简捷．初中不少数学应用题若能着眼于整体结构，往往能触及问题的本质，从而获得简捷明快的解法．把整体思想解题用于教学不但可以培养学生着眼于整体的意识，而且有利于培养学生思维的敏捷性．例9、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A、B两地间的距离．分析：用常规方法解决本题具有一定难度，若把两个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解．解：如图，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6千米；第二次相遇，甲、乙两人合走了三个全程，故乙共走了18千米，设A、B两地间的距离为x千米，第二次相遇时乙走了(x+8)千米，所以x+8=18，x=10．答：A、B两地间距离为10千米．例10、甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经4小时相遇；若甲先出发3小时后乙再出发，则经2小时相遇，问甲、乙单独走完AB这段路程各需几小时？解：由两人同时出发经4小时相遇，知两人2小时走全程的一半；又由甲出发3小时后乙再出发，经2小时相遇，知甲3小时走完全程的一半．故甲走完全程需6小时．因甲走5小时，乙走2小时可走完全程，而甲6小时走完全程，故甲走1小时的路程乙需走2小时，故乙走完全程需12小时．答：单独走完全程，甲需6小时，乙需12小时．注意：用常规方法解题是必要的，但本题运用整体思想求解不但看透了本质，而且利于培养学生的逻辑思维能力．4、合理设元巧解一元一次方程应用题：列方程解应用题在初中代数中既是重点，又是难点．怎样列方程解应用题，除了找出题中的相等关系外，关键还在于如何设元．在列方程解应用题时，大多时候是将要求的量设为未知元(设直接元)．而有时设直接元时，不易找出题目中的相等关系，此时则应恰当选择题目中要求的未知量外有关的某个量为未知元(设间接元)，求出这些量后，再用这些量求出要求的量．还有些时候除了设直接元或间接元，还要设辅助列方程的量为未知元(设辅元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等关系列方程．（1）不同的设元有不同的方程应用题一般有多个未知量，因而有多种设元方法，从而有多种不同的方程．例11、从A地到B地，先下山然后走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达B地共用55分钟．回来时以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山，回到A地共用1.5小时，从A地到B地有多少千米？（2）直接设元与间接设元一般情况下采用直接设元，即问什么就设什么，但有时根据问题的性质，选设适当的间接未知量，就可能使数量之间的复杂关系变得比较简单，容易列出关于间接未知量的方程来．例12、从家里骑车到火车站，若每小时行30千米，则比火车开车时间早到15分；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分．现要求在火车开车前10分钟到达火车站，骑车的速度应是多少？例13、设有五个数，其中每四个数之和分别是15、22、23、24、32，求这五个数．分析：这个题目如果设直接元，就应设五个未知元，涉及几个未知数的问题，须列出几个方程，不易解出．因此，我们想到设间接元的方法，题中已知五个数中四个数之和，若设五个数总和为x，则这五个数分别是：x-15，x-22，x-23，x-24，x-32，它们的和等于x．解：(设间接元)设这五个数的和是x则(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x．解方程得x=29．这五个数分别为：29-15=14，29-22=7，29-23=6，29-24=5，29-32=-3．答：这五个数是14，7，6，5，-3．（3）加设辅助元有些应用题中，常隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解．因而常把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是加设辅助元．例14、一轮船从重庆到武汉需5昼夜，从武汉到重庆需7昼夜，试问一木排从重庆漂流到武汉需要多少时间？分析：该题若设直接元，即木排漂流所需时间，很难找到相等关系来列方程，但由题意知轮船从重庆到武汉为顺水航行，从武汉到重庆为逆水航行，轮船在静水中速度不变，木排漂流速度为水流速度，引入辅助元：重庆到武汉轮船行驶路程为s，水流速度为v，由轮船在静水中速度不变可列方程．说明：在列出一元一次方程解应用题时，因为方程中只有一个未知数，所以不管应用题中有几问，都只能设一个未知数，但有时只设出一个未知数，有关的等量关系很难表达，这样就需要在方程中引入一个辅助元，便于列出方程表达等量关系，这个辅助元在解的过程中，常常被约掉，实际上还是一个未知数．例15、某人上午8时乘装有竹杆的船逆流而上，10时半发现一捆竹杆掉入河中，他立即掉头顺流去追，用30分追上了竹杆．竹杆是何时掉入河中的？注：在以上求解中，我们是以河岸为参照物来设定船速V和水流速度v的．并且，我们发现船速和水速实际上对结果都无影响．可以说这里的参数V、v是设而不求，只起到一个中间过渡作用．例16、一组割草人要把两块到处长得一样密的草地里的草割完，大的一块比小的一块大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完，另一半人去割小草地的草，到晚上还剩下一小块，最后由一人再用一天的时间刚好割完．如果这组割草人每天割草速度是相等的，问他们共有多少人？（4）整体设元在某些应用题中，直接设元相当困难，就是间接设元，也会感到未知数太多，已知关系太少．如果在未知数的某一部分中存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知量，这样就减少了设元的个数，从而易列出方程(组)．这种设元方法称之为整体设元．例17、一个五位数的最高位上数字是5，若将这个5移至最右边的数位上，这所得的五位数比原数的2/3多7001，求原五位数。【注】此题中的原五位数后四位组成的数在题中没有变化，故可设其为x．若分别设个十百千上的数字，则有四个未知量，仅一个相等关系，无法解题．列方程解应用题中的设元问题是一个十分广泛、灵活而有趣的内容，没有一种万能的方法，没有一种必由的途径．总之，设元的宗旨要使列方程的思路简捷，列出的方程的解法容易．在学习中必须灵活运用．切忌生搬硬套．三、小结：列方程解应用题的原理是：正确列出的方程能准确地表达出题目中各量之间的关系．就是说，方程即表达了题意，这样方程中未知数的值能使方程成立，也就符合题意．我们对间接未知数的作用有了一个初步的了解，它是我们从已知通向未知，从复杂通向简单，从困难通向容易的一座桥梁。正因为如此，在选择哪一个未知数作为间接未知数时，要经过认真思考，为此一定要弄清题意，弄清题目中已知数与未知数之间的数量关系。四、课后练习：1、现有含盐15％的盐水350克，稀释成含盐2％的盐水，问应加水多少克？2、甲、乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早出发1小时，而晚到1小时，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求从村庄到县城的路程？3、三个数中每两个数之和分别是27、28、29，求这三个数．4、李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟．现在李伟打算在火车开车前10分钟赶到火车站，李伟此时骑摩托车的速度应该是多少？5、从两块重量分别为12千克和8千克，并且含铜百分数不同的合金上，分别切下重量相同的一块，并把所切下的一块与另外一种合金所剩下的部分合在一起熔炼，形成两块新的合金，并且这两块新合金的含铜百分数相同，问开始在每种合金上切下的一部分重量是多少千克？6、一船往返于甲、乙两个码头之间，由甲到乙是顺水，乙到甲是逆水，并知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆水行与顺水行一次的时间比为2∶1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返甲、乙两码头之间一次共用9小时，求甲、乙两码头间的距离是多少千米？