三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

数学1A浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin(cossincossin或与的关系的推广应用：1、由于cossin21cossin2cossin)cos(sin222故知道)cos(sin，必可推出)2sin(cossin或，例如：例1已知33cossin,33cossin求。分析：由于)coscossin)(sincos(sincossin2233]cossin3)cos)[(sincos(sin2其中，cossin已知，只要求出cossin即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。解：∵cossin21)cos(sin2故：31cossin31)33(cossin212]cossin3)cos)[(sincos(sincossin2333943133]313)33[(3322、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用：数学2由于tg+ctg=cossin1cossincossinsincoscossin22故：tg+ctg，cossin，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。例2若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2n的关系为（）。A．m2=nB．m2=12nC．nm22D．22mn分析：观察sin+cos与sincos的关系：sincos=2121)cos(sin22m而：nctgtgcossin1故：1212122nmnm，选B。例3已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（）。A．21B．21C．41D．41分析：tg+ctg=41cossin4cossin1故：212sincossin22sin。答案选A。例4已知：tg+ctg=2，求44cossin分析：由上面例子已知，只要44cossin能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于数学3tg+ctg=2cossin121cossin，此题只要将44cossin化成含sincos的式子即可：解：44cossin=44cossin+2sin2cos2-2sin2cos2=（sin2+cos2）-2sin2cos2=1-2(sincos)2=1-2)21(2=211=21通过以上例子，可以得出以下结论：由于cossin，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含cossin的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（cossin）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出cossin二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5已知：tg=3，求cossin2cos3sin的值。分析：由于cossintg，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos；解：由于tg=30cos2k数学4故，原式=013233123coscoscossin2coscos3cossintgtg例6已知：ctg=-3，求sincos-cos2=?分析：由于sincosctg，故必将式子化成含有sincos的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cossin22及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：解：222222cossincoscossincoscossin1cossin2sin,分母同除以分子22221)sincos(1)sincos(sincosctgctgctg56)3(1)3(322例7（95年全国成人高考理、工科数学试卷）设20,20yx，)6sin()3sin(sinsinyxyx且求：)3)(33(ctgyctgx的值分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20yx，故0sin,0sinyx，数学5在等式两边同除以yxsinsin，托出分母yxsinsin为底，得：解：由已知等式两边同除以yxsinsin得：1sinsin6coscos6sinsinsin3coscos3sin1sinsin)6sin()3sin(yyyxxyxyx334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sinsin3cossinsincos341ctgyctgxctgyctgxctgyctgxyyyxxx“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于cossintg，sincosctg，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cossin22，把22cossin作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。三、关于形如：xbxasincos的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sincoscossinxAxAxA中得到启示：式子xbxasincos与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如xbxasincos的式子都可以变成含)sin(xA的式子，由于-1≤)sin(xA≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：xxsin4cos3中，不能设sinA=3，数学6cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：xbabxbaabaxbxasincossincos222222由于1)()(222222babbaa。故可设：22sinbaaA，则AAsin1cos，即：22cosbabA∴)sin()sincoscos(sinsincos2222xAbaxAxAbaxbxa无论xA取何值，-1≤sin(A±x)≤1，22ba≤)sin(22xAba≤22ba即：22ba≤xbxasincos≤22ba下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数xxxycossincos32的最大值为（AAAA）A．231B．13C．231D．13分析：xxxx2sin21cossin221cossin，再想办法把x2cos变成含xcso2的式子：212coscos1cos22cos22xxxx于是：xxy2sin21212cos3数学7xx2sin21232cos2323)2sin212cos23(xx由于这里：1)21()23(,21,232222baba则∴23)2sin212cos23(1xxy设：21cos,23123sin22AbaaA则∴232sincos2cossinxAxAy23)2sin(xA无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231≤y≤231∴y的最大值为231，即答案选A。数学8例2（96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。分析：首先，由于222224)3(1ABCABC，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于30,21sinAABBCA故，则∠B=90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为l，且要列出有关l为未知数的方程，对l进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=l，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l的方程。在图中，由于EC=l·cosα，则BE=BC-EC=1-l·cosα。而∠B+∠BDE+∠1=180°∠α+∠DEF+∠1=180°∠BDE=∠α∠B=60°，∠DEF=60°∴在△BDE中，根据正弦定理：60sinsincos1sinsinllBDEBDEBFsincos2323sin)cos1(23llllsincos2323l在这里，要使l有最小值，必须分母：sincos23有最大值，观察：271)23(1,23,sincos232222baba数学9∴)sin772cos721(27sincos23设：721sinA，则772cosA故：)sincoscos(sin27sincos23AA)sin(27A∴sincos23的最大值为27。即：l的最小值为：7212723而)sin(A取最大值为1时，AkkA2222∴772cos)22sin(sinAAk即：772sin时，△DEF的边长最短，最短边长为721。从以上例子可知，形如xbxasincos适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与22ba的最值有关；数学10其中最大值为22ba，最小值为22ba。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如xbxasincos的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα0(或0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;2.sinα-cosα0(或0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sinα||cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα||cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。五、“见齐思弦”=“化弦