中科大电磁学课件--第三章

第三章静电能静电场能量与静电场做功有关！系统静电能与系统状态有关！§3.1带电系统的静电能与电场的能量1、点电荷组的静电相互作用能2、电荷连续分布的带电系统的静电能3、利用静电能求静电力4、电场的能量与能量密度§3.1.1点电荷组的静电相互作用能1、真空中N个点电荷组成的点电荷带电系统，电量分别为q1q2..qN，空间位置分别为r1r2..rN，其中i、j点之间距离rij为：全部rij决定点电荷组中点电荷的相对位置分布。处于一定电荷分布状态的点电荷组具有与rij有关的能量。这种与点电荷之间相对位置有关的点电荷组能量，称为点电荷组的静电相互作用能。jijiijrrrr2、点电荷组W互的具体表达式（1）讨论相距r12的两个点电荷q1和q2组成的点电荷组，从无穷远处状态到相距r12状态，外力克服电场力所做的功与两点电荷移入的次序无关，只与点电荷组终态的状态参数q1、q2和r12相关。如前所述，这个功就等于两个点电荷的点电荷组的静电相互作用能W互，即)(21211122211122UqUqUqUqW互（2）N个点电荷组的W互由两个点电荷组的静电相互作用能公式推广到N个点电荷组，可以对这N个点电荷进行不重复的组对，然后把每对点电荷的静电相互作用能加起来，即可得到N个点电荷组成的点电荷组的静电相互作用能W互。式中，是第j个点电荷在第i个点电荷处产生的电势。rji是第j个点电荷到第i个点电荷的距离。NjNjijiiqqqUq由于第j个点电荷与第i个点电荷组成的点电荷对的相互作用能相等，由此可得N个点电荷组的静电相互作用能W互为：定义为点电荷组中除qi外其他点电荷在qi处产生的电势代数和，即点电荷组中除qi外其他电荷在qi处产生的电场电势。由此上式可写成：)(21ijjjiiijjjiiUqUqUqUqNijjNijiiUqW1121互NijjjijNijjjiirqUU1014NiiiUqW121互§3.2电荷连续分布的带电系统的静电能对一个体电荷连续分布的带电体，体积设为V，所带电荷设为q，电荷在带电体中的分布情况由体电荷密度ρ描述，我们设想把其分割成许多小体电荷元ΔVi，这些体电荷元都可以视为点电荷，因此可得带电体的相互作用能式中，Ui(ri)为除第i个电荷元以外带电体其他电荷在ri处产生的电势。iiiiirUVrW)()(21互1、带电体的静电能We对带电体内电荷无限分割时，即过渡到体积分：这里，U(r)包括电荷元ρdV在内的带电体全部电荷在r处产生的电势。故U(r)=Ui(r)+dU，其中dU是ρdV在自身r处产生的电势，可以证明，dU趋于0。因此，带电体的静电能包括带电体内电荷元之间的相互作用能和电荷元内的电能。VedVrUrW)()(212、N个带电体的系统的静电能设N个带电体的体积为V1,V2..VN，它们在空间r处产生的总电势为其中，Ui(r)是除了第i个带电体的电荷以外其余所有电荷在r处产生的电势，U(i)(r)是第i个带电体的电荷在r处产生的电势。则N个带电体组成的带电系统的静电能为：We=W互+W自)()()()(rUrUrUii其中，这里，W自(i)是第i个带电体的静电能，并称为第i个带电体的自能。W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能，简称系统的互能。NiViidVrUrW1)()(21互NiiNiViWdVrUrWi1)(1)()()(21自自＝＝NiViNiViNiVeiiidVrUrdVrUrdVrUrW1)(11)()(21)()(21)()(21带电体的相互作用能的讨论如果系统内带电体体积Vi非常小，以至于其他带电体在Vi内产生的电势Ui(r)在Vi内各点近似相等，即Ui(r)=Ui，则系统的相互作用能为：这和点电荷组的相互作用能完全一致。NiiiNiiVNiViUqrUdVrdVrUrWii11121)())((21)()(21互带电体的自能的讨论对点电荷和线电荷的自能的讨论点电荷的自能无限大，即自能是发散的。因此讨论点电荷组的电能时，只讨论互能。点电荷的自能为无限大表明，真正的点电荷实际上是不存在的。线电荷的自能也是无限大，这表明线电荷只是一种近似模型，真正的线电荷是不存在的。3、带电面的静电能带电导体的电荷分布在表面上，因此求带电导体的静电能是求面电荷分布的带电系统的静电能。对面电荷系统的静电能为：这里U(r)为带电面上r处的电势。对于带电导体，导体表面是等势面，因此其静电能为：SedSrUrW)()(21qUUdSrWSe21))((214、N个带电面的带电系统静电能由N个带电面组成的带电系统的静电能为：如果是N个带电导体表面，注意到导体表面是等势面，则其静电能为：iSiieidSrUrW)()(21iiiiiSieUqUdSrWi21))((215、带电体的电势能带电体或带电系统的电势能是我们研究的带电体同产生外电场的带电系统之间的相互作用能。由此，两个带电系统之间的相互作用能为：其中，U1(r1)为外电场在r1处产生的电势，U2(r2)为研究的带电体在r2处产生的电势。212222211111)()(21)()(21VVdVrUrdVrUrW互221220112)(41)(dVrrrrUV121110221)(41)(dVrrrrUV因此，可得：即两个带电系统彼此在对方产生的电场里，它们之间产生的相互作用能可以称为一个带电系统在另外一个带电系统产生的电场里的电势能，且它们相等。即我们研究的带电体的电势能为：22222111112121221102112)()()()()()(41dVrUrdVrUrdVdVrrrrWVVVV互dVrUrWV)()(势N个带电体的电势能当带电体体积V很小时，可认为外电场的电势在V内是相等的，如点电荷，则这个带电体在外电场中的电势能为：对于由N个体积很小的带电体所组成的系统，如点电荷组，则其电势能为：其中，U(ri)为外电场在qi电荷所在位置ri处的电势。qUW势NiiirUqW1)(势有电介质存在时带电系统的静电能可以证明，有介质存在时，面自由电荷带电系统在形成过程中外界对带电系统做功，即带电系统的静电能的表达式为：推广到有电介质情况下的体自由电荷带电系统的静电能为：其中，U(r)是由自由电荷和极化电荷共同产生，因此其静电能与自由电荷和极化电荷都有关。SedSrUrAW)()(210'VedVrUrW)()(210§3.3利用静电能求静电力如果两个带电体的电荷分布给定，或者受力带电体的电荷分布和施力带电体产生的电场分布已经给定，带电体之间的静电力通过积分原则上就可以求了。但在很多情况下，求带电体之间静电力的积分不容易求，而受力带电体和施力带电体组成的带电系统的静电能容易求出，通过对静电能求微商就可求出受力带电体所受的静电力。（1）由N个彼此绝缘的带电体组成的系统其中第i个是受力带电体，其余N-1个带电体为施力带电体。设想N-1个施力带电体保持静止，让受力带电体作无限小的位移，在这过程中系统内电场力做功为：设系统在位移过程中是不与外界进行能量交换的孤立系统，这个过程中系统内带电体的电荷qi保持不变，系统内电场力做功只消耗系统的静电能。iiziiyiixiizFyFxFrFA即则有：写成式中，下标q表示在对We进行偏微商时，系统内的电荷qj应视为常数。iiziiyiixqezFyFxFAW)(qieizqieiyqieixzWFyWFxWF)(,)(,)(qeiWF)(静电力矩的表达式如果系统内第i个带电体不是位移做功，而是绕某轴作无限小转动角位移，则第i个带电体受静电力矩所作的功为：因此，静电力矩为：如果已知系统的静电能We的表达式，通过上述两个公式即可求得系统内第i个带电体所受的静电力和力矩。iqeLAW)(qeiWL)(（2）由N个带电导体组成的系统研究第i个带电导体所受的静电力或静电力矩：设想第i个带电导体作无限小位移或无限小转动角位移，在这过程中，设想通过外界电源作功保持系统内各导体的电势Uj不发生改变，则由能量守恒可知，系统的静电能的改变量应等于过程中外界所作的功与系统内静电力作的功之差，即AAWUe')(保持系统内各带电导体电势不变而其电荷改变，外界（电源）所做的功为：而N个带电导体组成的系统的静电能为保持系统内带电导体电势不变而电荷改变，系统的静电能改变为：故jjjeUqW21NjjjqUA1'jjjUeqUW21)(UeUeWWAA)()('由或可得受力带电导体i所受静电力或静电力矩为：UieizUieiyUieixzWFyWFxWF)(,)(,)(UeiWF)(UeiWL)(iirFAiLA（3）利用互能求静电力或静电力矩如果受力带电体在位移或转动过程中，受力带电体和施力带电体上的电荷分布都不改变，则各带电体的电荷在自身体积内产生的电势在过程中就不变化，因而带电系统内各带电体的自能在受力带电体位移或转动过程中不变，则有由能量守恒定律，受力带电体所受静电力或静电力矩可以通过相互作用能表示为)()(互WWeiierFWW)()(互ieLWW)()(互式中下标表示微商时把受力带电体与施力带电上的电荷密度看作为常数。即，)(,)(,)(iiziiyiixzWFyWFxWF互互互)(互WFii)(互WLi§3.4电场的能量与能量密度1、一个自由电荷密度为的带电系统，如果系统空间体积为V，则这带电系统的静电能为：上式适用于真空中带电系统，也适用于有线性介质存在的带电系统。)(0rVedVrUrW)()(2102、能量密度来表示电场能量给出另一种静电能表达式：式中，称为电场的能量密度。由此可知：静电能储存在电场里。对均匀各向同性电介质和真空中的电场能量密度分别为：dVrwdVEDWee)(21EDwe212021Ewe2021Ewe第三章小结带电系统的静电能利用静电能求静电力电场的能量能量密度