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中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、填空题(本题满分30分，每个空格6分。请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。)1．30tansinlimln(1)xxxx→−+=（）。2.设函数(,)fxy可微，(0,0)0,(0,0)xffm′==，(0,0)yfn′=，()(,(,))tftfttϕ=，则(0)ϕ′=（）。3.312dxx++∫=（）。4.微分方程22xyxyy′+=的满足(1)2y=的解为（）。5.设是曲面Σ2222xyza++=的外侧，cos,cos,cosαβγ是其外法线向量的方向余弦，则32222coscoscos()xyzdSxyzαβγΣ++++∫∫=()。二、选择题(本题满分30分，每小题6分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。)1.设1sin(1)1(),()2,1xxbxfxxeax−−⎧−≠⎪=−⎨⎪1=⎩。若f(x)在x=1处连续，则。A．;B.;C.0,1ab==1,1ab==−1,1ab=−=;D.1,0ab==2.设()fx和都在()gx0x处二阶可导，且0000()()0,()()0fxgxfxgx′′==⋅，则。A.0x不是()()fxgx⋅的驻点B.0x是()()fxgx⋅的驻点，但不是()()fxgx⋅的极值点科目名称：高等数学（甲）第1页共3页C.0x是()()fxgx⋅的驻点，且是它的极小值点D.0x是()()fxgx⋅的驻点，且是它的极大值点3.已知连续函数()fx满足()(2)(0)fxfaxa=−≠，为任意常数，则c()ccfaxdx−−∫=。A.02(2)cfaxdx−∫B.2(2)ccfaxdx−−∫C.0D.02()cfaxdx−∫4.点关于直线L：1P(2,3,1)−xyz==的对称点的坐标是2P。A.21(,1,33−)B.21(,1,)33−−C.1051(,,333−−)D.1051(,,)333−5.设()fx在区间[,]ππ−上连续，且满足()()fxfxπ+=−，则()fx的傅里叶系数2na=，。(1,2,n=L)A．0B.πC．1πD.4π三、(本题满分10分)已知f(x)在(,)−∞+∞内有二阶连续导数，且，又(0)0f=(0),0()(),0xfxxefxxxϕ′=⎧⎪=⎨≠⎪⎩，求()xϕ′。四、(本题满分10分)求满足00()()xxxftdttftxdt=+−∫∫的可微函数()fx。五、(本题满分10分)若(),(0)0,(1)ufxyzff1′===，且3222()uxyzfxyzxyz∂′′′=∂∂∂，求函数u。六、(本题满分10分)设L是分段光滑的简单闭曲线，且点(2,0),(2,0)−均在闭曲线L所围区域的内部，计算曲线积分2222222222(2)(2)(2)(2)LyyxxIdxdyxyxyxyxy⎡⎤⎡−+=++−⎢⎥⎢−+++−+++⎣⎦⎣∫，⎤⎥⎦其中L取正向。科目名称：高等数学（甲）第2页共3页七、(本题满分10分)求方程432444xyxyxy1′′′′′′−+=的形如1yax−=的特解，进而求该方程的通解。八、(本题满分10分)在曲线2214xy+=上找一个位于第一象限的点，使得该曲线在该点处的切线与该曲线、以及x轴和y轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。九、(本题满分10分)证明：222222()()()()DRrdRRKrKxaybπσ−−≤≤+−−+−∫∫rπ，其中220Kabr=+R2，222:DrxyR≤+≤。十、(本题满分10分)设函数()fx在区间[0上可导，且,1](0)0,(1)1ff==，证明在区间上存在两点[0,1]12,xx，使12112()()fxfx+=′′。十一、(本题满分10分)设级数的各项，{为一正实数数列，记1nnu∞=∑0,1,2,nun=⋅⋅⋅}nv11nnnnuvau++=−nv，证明：如果limnxaa→∞=，且a为有限正数或正无穷，则收敛。1nnu∞=∑科目名称：高等数学（甲）第3页共3页