二次函数与方程、不等式PPT课件

1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函数的解析式2.顶点式:y=a(x-m)2+n(其中(m,n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2为抛物线与x轴两交点的横坐标);注:求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法.做题时,要根据题设条件,合理地设出解析式.二、二次函数的图象有关知识:图象形状;对称轴;顶点坐标;与x轴交点坐标;截x轴线段长.三、二次函数的性质1.当a0时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当x=-时,f(x)取得最小值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b22.当a0时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-]上单调递增,在[-,+∞)上单调递减,当x=-时,f(x)取得最大值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在[m,n]上的最值2.若x0[m,n],则(1)当x0m时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);(2)当x0n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).五、不等式ax2+bx+c0恒成立问题1.若x0=-∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)中的较大者即为f(x)在[m,n]上的最大值.2ab4a4ac-b21.ax2+bx+c0在R上恒成立.a0△=b2-4ac0,a=b=0c0.或ax2+bx+c0在R上恒成立.a0△=b2-4ac0,a=b=0c0.或2.f(x)=ax2+bx+c0(a0)在[m,n]上恒成立.f(m)0,-m2ab△=b2-4ac0,m≤-≤n2ab或f(n)0.-n2ab或f(x)min0(x∈[m,n])f(x)=ax2+bx+c0(a0)在[m,n]上恒成立.f(n)0.f(m)01.方程f(x)=0有两正根六、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题记f(x)=ax2+bx+c(a0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-0abacx1x2=0△=b2-4ac≥0f(0)0.-02ab2.方程f(x)=0有两负根△=b2-4ac≥0.x1+x2=-0abacx1x2=0△=b2-4ac≥0f(0)0.-02ab4.方程f(x)=0的两实根都小于k△=b2-4ac≥0f(k)0.-k2ab3.方程f(x)=0有一正根一负根c0.5.方程f(x)=0的两实根一个大于k,另一个小于kf(k)0.6.方程f(x)=0的两实根都大于k△=b2-4ac≥0f(k)0.-k2ab7.方程f(x)=0的两实根都在区间(m,n)内f(m)0△=b2-4ac≥0m-n2abf(n)0.8.方程f(x)=0的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.f(m)f(n)0,或f(m)=0m-,2abm+n2-n.2abm+n2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?9.方程f(x)=0的两根分别在区间(m,n)和(p,q)(np)内.f(m)0f(n)0f(p)0f(q)0.注涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;△0△=0△0判别式△=b2-4ac七、二次函数与方程、不等式的关系o(a0)的图象二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集ax2+bx+c0{x|x1xx2}一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)没有实根有两相等实根x1=x2=-2ab(a0)的解集Rax2+bx+c0{x|xx1或xx2}{x|x≠-}2ab八、典型例题1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解法一:利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1)=-1,∴抛物线的对称轴为直线x=,12∴m=.12又f(x)的最大值是8,∴n=8.∴f(x)=a(x-)2+8,12∵f(2)=-1,∴a(2-)2+8=-1,12∴a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12解法三:利用二次函数的两根式.由已知f(x)+1=0的两根为2和-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即f(x)=ax2-ax-2a-1.又f(x)的最大值是8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得a=-4或a=0(舍去).故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.∵f(x)在区间[0,2]上的最小值为3,∴可分情况讨论如下:2.已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.解:由已知f(x)=4(x-)2-2a+2.a2a2(1)当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数.∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当02,即0a4时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由-2a+2=3得:a=-12(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数.∴f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由a2-2a+2=3得:a=12.∵a≤0,∴a=1-2.由a2-10a+18=3得:a=510.∵a≥4,∴a=5+10.综上所述,a=1-2或a=5+10.3.已知y2=4a(x-a)中a0,且当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求参数a的值.解:由已知S=(x-3)2+y2=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.∵当x≥a时,S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2的最小值为4,∴对正数a,可分情况讨论如下:(1)当3-2aa,即a1时,函数S(x)在[a,+∞]上是增函数.∴S(x)min=S(a)=(a-3)2.由(a-3)2=4得:a=1或5.∵a1,∴a=5.(2)当3-2a≥a,即0a≤1时,S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.由12a-8a2=4得:a=1或,12均满足0a≤1.12综上所述,参数a的值为或1或5.4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点,且不等式ax2+bx+c0的解集是(-,),求a,b,c的取值范围.1213解:由已知,二次方程ax2+bx+c-25＝0有实根.∴△=b2-4a(c-25)≥0.又不等式ax2+bx+c0的解集是(-,),1213∴a0,且有-=-,=-.1616abac∴b=a,c=-a0.1616∴b=-c,c2+24c(c-25)≥0.解得:c≥24.∴b≤-24,a≤-144.故a,b,c的取值范围分别是a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c-25)≥0得:5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立?x2+12则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),得a-b+c=0.①∵x≤f(x)≤对一切实数x都成立,当x=1时也成立,x2+12∴1≤f(1)≤1,即f(1)=1,得a+b+c=1.②∴由①,②得:a+c=b=.121212∴f(x)=ax2+x+-a.解:假设存在常数a,b,c,使题中不等式对一切实数x都成立.1212故应x≤ax2+x+-a≤对一切实数x都成立.x2+12即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数x都成立.则必有:1-8a(1-2a)≤0,即(4a-1)2≤0.14∴a=.1214∴c=-a=.x2+1214故存在一组常数:a=,b=,c=,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立.1412其中,0a.12解法二:可得ac≥且ac≤,161161∴ac=且a=c,161从而得解.6.已知二次函数f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9.(1)若在[-1,1]上至少存在一个实数m,使得f(m)0,求实数a的取值范围;(2)若对[-1,1]上的一切实数m,都有f(m)0,求实数a的取值范围.解:f(x)的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x=a-1.(1)问题等价于“对于x∈[-1,1],有f(x)max0.”讨论如下:①当a-1≤0即a≤1时,f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+150得:-5a3.∵a≤1,∴-5a≤1.②当a-10即a1时,f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+70得:-1a7.∵a1,∴1a7.综上所述,-5a7.即实数a的取值范围是(-5,7).(2)问题等价于“对于x∈[-1,1],有f(x)min0.”讨论如下:①当a-1-1即a0时,f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+70得:-1a7.∵a0,∴-1a0.②当-1≤a-1≤1即0≤a≤2时,f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.而当0≤a≤2时,-3a2+6a+70恒成立.∴0≤a≤2.注:亦可用补集法求解.综上所述,-1a3.即实数a的取值范围是(-1,3).③当a-11即a2时,f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+150得:-5a3.∵a2,∴2a3.证:(1)令F(x)=f(x)-x,由于x1,x2是方程f(x)-x=0的两根,所以可设F(x)=a(x-x1)(x-x2).7.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足0x1x2.(1)当x∈(0,x1)时,证明:xf(x)x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0.1a2x1∵0x1x2,∴x1-x0,1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20.1a当x∈(0,x1)时,由x1x2及a0有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)0.即f(x)-x0,从而f(x)x.又x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴x1-f(x)0,从而x1f(x).故当x∈(0,x1)时,有xf(x)x1;(2)依题意x0=-.2ab由于x1,x2是方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0的两根,∴x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a∴x0=-2ab1-a(x1+x2)2a=-a(x1+x2)-12a=.∵ax21,即ax2-10,2x1a(x1+x2)-12a==.∴x02aax1故x0.2x18.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0在[0,]上有两个不同的解,求实数a的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a0在[0,]上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)令t=sinx,则方程2sin2x-4asinx+1-a=0在[0,]上有两个不同的解等价于:方程2t2-4at+1-a=0有一根为0,另一根不在(0,1)内;或方程2t2-4at+1-