二次函数动点问题(提高篇)

1数学压轴题二次函数动点问题1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得cbacbaccba244163039解得a＝－33，b＝－332，c＝3．（2）由（1）知y＝－33x2－332x＋3，令y＝0，得－33x2－332x＋3＝0．解得x1＝－3，x2＝1．∵A(－3，0)，∴B(1，0)．又∵C(0，3)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝3，∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝OCOA＝3，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形．∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．2∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴NCPN＝BCAB．由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴tt2＝24．∴t＝34．∴OM＝BM－OB＝34－1＝31．如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝34×23＝332．MH＝PM·cos60°＝34×21＝32．∴OH＝OM＋MH＝31＋32＝1．∴点P的坐标为(－1，332)．（3）存在．由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形．∵二次函数y＝－33x2－332x＋3的图象的对称轴为x＝－1．∴点P在对称轴上．∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．∴∠PNQ＝30°，∴QN＝o30cosPN＝2334＝938．3∴BNQN＝34938＝332．∵BCAC＝tan60°＝3，∴BNQN≠BCAC．∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似．②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°．∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC．∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC．设对称轴与x轴的交点为D．∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的坐标为(－1，－332)．综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－332)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．2.如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．4解：（1）由题意得033903＝＋＝＋＋－baba．解得21－－＝＝ba．∴所求抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，10)或P(－1，10－)或P(－1，6)或P(－1，35)；（3）解法一：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m2－2m＋3)（－3＜a＜0）则EF＝－m2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．∴S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝21BF·EF＋21(EF＋OC)·OF＝21(m＋3)(－m2－2m＋3)＋21(－m2－2m＋6)(－m)．＝－23m2－29m＋29＝－23(m＋23)2＋863∴当m＝－23时，S四边形BOCE最大，且最大值为863．此时y＝－(－23)2－2×(－23)＋3＝415∴此时E点的坐标为(－23，415)．解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜x＜0）5则S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝21BF·EF＋21(EF＋OC)·OF＝21(3＋x)·y＋21(3＋y)(－x)．＝23(y－x)＝23(－x2－3x＋3)．＝－23(x＋23)2＋863∴当x＝－23时，S四边形BOCE最大，且最大值为863．此时y＝－(－23)2－2×(－23)＋3＝415∴此时E点的坐标为(－23，415)．3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA、OC的长是方程x2－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．∴OA＝1，OC＝4．∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴∴A（－1，0），C（0，－4）．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．∴A、B、C三点的坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．（2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax2＋bx＋c图象上，∴c＝－4．4分6将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax2＋bx－4得043904＝＋＝－－－baba解得3834－＝＝ba∴此抛物线的解析式为y＝34x2－38x－4．（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m．在Rt△BOC中，BC2＝OB2＋OC2＝32＋42＝25，∴BC＝5．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴BCDE＝ABAD，即5DE＝44m－．∴DE＝4520m－．过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝BCOC＝54．∴DEEF＝54，∴EF＝54DE＝54×4520m－＝4－m．∴S＝S△CDE＝S△ADC－S△ADE＝21(4－m)×4－21(4－m)(4－m)＝－21m2＋2m＝－21(m－2)2＋2（0＜m＜4）．∵－21＜0∴当m＝2时，S有最大值2．此时OD＝OB－BD＝3－2＝1．∴此时D点坐标为（1，0）．4.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；7②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2．∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x2－4x＋6令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，得620＝＋＝＋－bkbk解得22＝＝－bk∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2．（2）①设P点的横坐标为m(－2≤m≤1)，则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m2－4m＋6)．∴PM＝－2m2－4m＋6－(－2m＋2)＝－2m2－2m＋4＝－2(m＋21)2＋29∴当m＝－21时，线段PM长度的最大值为29．②存在.M1(0，6),．M2(－41，855)．ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△ANP∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x2－4x＋6得－2x2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0∴M1(0，6)（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合）ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m2－4m＋6)(－2≤m≤1)8过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D则△CMP∽△NAP又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD∴ODCH＝OAMH∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m2－4m＋6－6＝－2m2－4m在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2∴D(0，2)，∴OD＝2∴22m＝1422mm整理得4m2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－41当m＝－41时，－2m2－4m＋6＝(－41)2－4×(－41)＋6＝855∴M2(－41，855)