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第三章一元一次方程知识要点梳理一.元一次方程及解的概念1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。2、方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意：（1）一元一次方程必须满足的3个条件：只含有一个未知数；未知数的次数是1次；整式方程．（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．二.方程变形——解方程的重要依据1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么2、分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m≠0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为的形式：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。三.解一元一次方程的一般步骤1、解一元一次方程的基本思路通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。2、解一元一次方程的一般步骤是变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝等式基本性质2注意：(1)解方程时应注意：①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。②去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：①移项时忘记改变符号；②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:(1)a≠0时，方程有唯一解；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。四.列一元一次方程解应用题的一般步骤1、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。(2)解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。(4)一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。五.常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度顺流的距离＝逆流的距离(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1(6)利润率问题商品利润＝商品售价－商品进价商品利润率＝×100％售价＝进价×(1＋利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数六.整式、等式与方程的关系1、正确理解代数式、等式和方程的概念代数式：像－1,0，a，－2x＋5等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。2、整式、等式与方程的区别和联系区别：①定义不同。②从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。③等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。所以有：方程是等式，但等式却不一定是方程。联系：①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是方程。如：要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程5x＋1＝0的解。②当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。如：要使整式x＋5的值与整式－x－5的值相等，即求方程的解。③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成方程。如：要使整式x－4的值比的值大3，即求方程的解。通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。七、规律方法指导解一元一次方程的注意事项：1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。列方程解应用题的注意事项：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析