函数极限的定义与基本性质

函数极限的定义与基本性质本章主要阐述函数的定义与基本性质，其中，最为重要的函数的极限的模型来自于对自由落体运动，由平均速度，hgthtg2221)(21（1）求解瞬时速度，也就是说要考察上述函数（1）中h（注意，t是固定的），当h无限变小时，它的变化趋势，也就是看它是否无限接近于一个数。首先看到，这个函数在0h是没有定义的，但至少在包含0的一个开区间（0点除外）有定义，h不等于0的时候，有ghgthgthtg2121)(2122当h很小的时候，左边的函数值与右边的函数值的差也很小，而且当h无限接近于0的时候，左边的函数值也无限接近于gt。接下来，把“接近”、“无限”等语言精确化，便得到我们所要的函数极限概念的定义：1.1定义：设)(xf在0x点附近（除0x点以外）有定义，A是一定数，若对任意给定的0，存在0，当00xx的时候，有Axf)(，则称A是函数)(xf当x趋于0x的时候的极限，记为Axfxx)(lim0或者记为：Axf)(（0xx）1.2定理：若BxgxxAxfxx)(lim,)(lim00，则（1）BAxgxfxx))()((lim0（2）BAxgxfxx))()((lim0（3）BAxgxfxx)()(lim01.3推论：若Axfxx)(lim0，c为常数，则cAxcfxx)(lim01.4局部有界性定理：若Axfxx)(lim0，则存在0，使得)(xf在),(),(0000xxxx上有界。1.5局部保号性定理：Axfxx)(lim00,则存在0,当00xx的时候，有：02)(Axf1.6定理：若0)(lim0xfxx，且存在0，)(xg在),(),(0000xxxx上有界，则0)()(lim0xgxfxx1.7局部保序性：若BxgxxAxfxx)(lim,)(lim00，且BA，则存在0，当00xx的时候，)()(xgxf。1.8极限不等式：若存在0，当00xx的时候，有)()(xgxf，且BxgxxAxfxx)(lim,)(lim00，则BA。1.9极限唯一式：若极限)(lim0xfxx存在，则极限是唯一的。2.0夹迫性：若存在0，当00xx的时候，有)()()(xhxgxf，并且Axhxxxfxx)(lim)(lim00，则Axgxx)(lim02.1海涅定理：Axfxx)(lim0的充分必要条件是对任意的以0x为极限的数列nx，且0xxn（n=1,2,3........），都有Axfxn)(lim。海涅定理深刻的揭示了函数极限与数列极限的关系，正确的理解这个定理，有助于理解变量的连续变化和离散变化之间的关系，从而进一步理解函数极限的概念。2.2定理：设)(uf在0u点附近)(0uu有定义，且Aufuu)(lim0，而)(xgu在0x点附近（0xx）有定义，0)(uxg且00)(limuxgxx，则Axgfxx))((lim0