函数的基本性质(含答案)

1教师辅导讲义年级：高一辅导科目：数学课时数：3课题函数的基本性质教学目的通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法教学内容【知识梳理】函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）【典型例题分析】例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数.（2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数.（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.例2、关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.解析：作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图.2xyO123-1123由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：1例3、已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）.若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f（x）存在，∵函数图象的对称轴是x=－2b，又b≥0，∴－2b≤0.①当－21＜－2b≤0，即0≤b＜1时，函数x=－2b有最小值－1，则1,0011240)1(1)2(22cbcbcbbfbf或3,4cb（舍去）.②当－1＜－2b≤－21，即1≤b＜2时，则0,20)0(1)2(cbfbf（舍去）或0,2cb（舍去）.③当－2b≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则,0)0(,1)1(ff解得.0,2cb综上所述，符合条件的函数有两个，f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x.变式练习：已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）.若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x=－21b，又b≥0，∴－21b≤－21.设符合条件的f（x）存在，3①当－21b≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则.0,101)1(10)0(1)1(cbccbff②当－1＜－21b≤－21，即0≤b＜1时，则0)0(1)21(fbf0,1012)1()21(22cbccbb（舍去）.综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.例4、设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有babfaf)()(＞0.（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－21）＜f（x－41）；（3）记P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围.解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，∴)()()(2121xxxfxf＞0.∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0.∴f（x1）＜－f（－x2）.又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）.∴f（x1）＜f（x2）.∴f（x）是增函数.（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）.（2）由f（x－21）＜f（x－41），得,4121,1411,1211xxxx∴－21≤x≤45.∴不等式的解集为{x|－21≤x≤45}.（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.4∵P∩Q=，∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，解得c＞2或c＜－1.例5、建筑一个容积为8000m3、深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________m时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为x68000（m），池壁面积为2·6·x＋2·6·x68000＝12（x＋x68000）（m2），池底面积为x·x68000＝68000（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为y＝12a（x＋x68000）＋38000a.定义域为（0，＋∞）.x＋x68000≥2xx68000＝34030（当且仅当x=x68000即x=32030时取“=”）.∴当底边长为32030m时造价最低，最低造价为（16030a＋38000a）元.答案：y=12a（x+x68000）+38000a（0，+∞）3203016030a+38000a【课堂小练】1．已知fx是定义,上的奇函数，且fx在0,上是减函数．下列关系式中正确的是()A．55ffB．43ffC．22ffD．88ff2．如果奇函数fx在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么fx在区间7,3上是()Ａ．增函数且最小值为5Ｂ．增函数且最大值为5Ｃ．减函数且最小值为5Ｄ．减函数且最大值为53．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A．1yxB．yxC．245yxxD．2yx4．对于定义域是R的任意奇函数fx有()A．0fxfxB．0fxfxC．0fxfxD．0fxfx5．求函数211yxxx的最大值，最小值．56．将长度为l的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________．7．函数0fxkxbk的单调性是____________．8．函数fx是偶函数，而且在0,上是减函数，判断fx在,0上是增函数还是减函数，并加以证明．9．如果二次函数215fxxax在区间1,12上是增函数，求2f的取值范围．10．求函数2322yxx的最大值．11．已知函数1fxxx．判断fx在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由．12．已知函数fx是偶函数，且0x时，1.1xfxx．求(1)5f的值，(2)0fx时x的值；6(3)当x0时，fx的解析式．13．作出函数21yxx的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．答案：7【课后练习】（可作为单元测试卷）一、选择题1．下面说法正确的选项（）8A．函数的单调区间可以是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间)0,(上为增函数的是（）A．1yB．21xxyC．122xxyD．21xy3．函数cbxxy2))1,((x是单调函数时，b的取值范围（）A．2bB．2bC．2bD．2b4．如果偶函数在],[ba具有最大值，那么该函数在],[ab有（）A．最大值B．最小值C．没有最大值D．没有最小值5．函数pxxxy||，Rx是（）A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与p有关6．函数)(xf在),(ba和),(dc都是增函数，若),(),,(21dcxbax，且21xx那么（）A．)()(21xfxfB．)()(21xfxfC．)()(21xfxfD．无法确定7．函数)(xf在区间]3,2[是增函数，则)5(xfy的递增区间是（）A．]8,3[B．]2,7[C．]5,0[D．]3,2[8．函数bxky)12(在实数集上是增函数，则（）A．21kB．21kC．0bD．0b9．定义在R上的偶函数)(xf，满足)()1(xfxf，且在区间]0,1[上为递增，则（）A．)2()2()3(fffB．)2()3()2(fffC．)2()2()3(fffD．)3()2()2(fff10．已知)(xf在实数集上是减函数，若0ba，则下列正确的是（）A．)]()([)()(bfafbfafB．)()()()(bfafbfaf9C．)]()([)()(bfafbfafD．)()()()(bfafbfaf二、填空题11．函数)(xf在R上为奇函数，且0,1)(xxxf，则当0x，)(xf.12．函数||2xxy，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.13．定义在R上的函数)(xs（已知）可用)(),(xgxf的和来表示，且)(xf为奇函数，)(xg为偶函数，则)(xf=.14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为；.三、解答题15．已知]3,1[,)2()(2xxxf，求函数)1(xf得单调递减区间.16．判断下列函数的奇偶性①xxy13；②xxy2112；③xxy4；④)0(2)0(0)0(222xxxxxy。17．已知8)(32005xbaxxxf，10)2(f，求)2(f.1018．函数)(),(xgxf在区间],[ba上都有意义，且在此区间上①)(xf为增函数，0)(xf；②)(xg为减函数，0)(xg.判断)()(xgxf在],[ba的单调性，并给出证明.19．在经济学中，函数)(xf的边际函数为)(xMf，定义为)()1()(xfxfxMf，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x台的收入函数为2203000)(xxxR（单位元），其成本函数为4000500)(xxC（单位元），利润的等于收入与成本之差.①求出利润函数)(xp及其边际利润函数)(xMp；②求出的利润函数)(xp及其边际利润函数)(xMp是否具有相同的最大值；③你认为本题中边际利润函数)(xMp最大值的实际意义.20．已知函数1)(2xxf，且)]([)(xffxg，)()()(xfxgxG，试问，是否存在实数，使得)(xG在]1,(上为减函数，并且在)0,1(上为增函数.11