函数的基本性质(考点加经典例题分析)

-1-函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(xfy，对于定义域内的自变量的任意两个值21,xx，当21xx时，都有))()()(()(2121xfxfxfxf或，那么就说函数)(xfy在这个区间上是增（或减）函数。2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。）3．二次函数的单调性：对函数cbxaxxf2)()0(a，当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调减小，右侧单调增加；当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性。4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,xx是给定区间上任意两个值，且21xx；⑵作差：)()(21xfxf；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121xfxfxfxf或；⑸根据定义下结论。例2、判断函数12)(xxxf在)0,(上的单调性并加以证明.-2-5．复合函数的单调性：复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数322xxy的单调减区间是（）A.]3,(B.),1[C.]1,(D.),1[6．函数的单调性的应用：判断函数)(xfy的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数12xy在区间]6,2[上的最大值和最小值.二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(xfxf，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(xfxfxfxf）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(xfxf，那么函数f(x)就叫奇函数。（等价于：0)()()()(xfxfxfxf）注意：当0)(xf时，也可用1)()(xfxf来判断。2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(xf为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(f；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断)()(xfxf或)()(xfxf是否恒成立。-3-4．奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例4：判断函数221)(2xxxf的奇偶性。分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性针对性练习：1、判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、xxxf2)(3⑵、2432)(xxxf⑶、1)(23xxxxf⑷、2)(xxf2,1x⑸、xxxf22)(⑹、2211)(xxxf2、判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。.)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解xfxfxfxfxxxfxxxfxxxfxxxff3、已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f（利用奇偶性求函数值）4、已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1(f，)3(f的大小。（利用奇偶性比较大小）5、已知)(xf为偶函数时当时当01,1)(,10xxxfx，求)(xf的解析式？（利用奇偶性求解析式）-4-6、若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）7、已知函数)0()(23acxbxaxxf是偶函数，判断cxbxaxxg23)(的奇偶性。（利用奇偶性判断函数的奇偶性）8、定义在R上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若)123()12(22aafaaf，则a的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值）9、（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式x0xf的解是.（利用图像解题）10、已知函数1().21xfxa，若fx为奇函数，则a________。（利用定义解题）函数的周期性与对称性◆函数的轴对称定理1：函数xfy满足xbfxaf，则函数xfy的图象关于直线2bax对称.推论1：函数xfy满足xafxaf，则函数xfy的图象关于直线ax对称.推论2：函数xfy满足xfxf，则函数xfy的图象关于直线0x（y轴）对称.◆函数的周期性定理2：函数xf对于定义域中的任意x,都有Txfxf，则xf是以T为周期的周期函数；推论1：函数xf对于定义域中的任意x,都有bxfaxf，则xf是以（a－b）为周期的周期函数；推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：1、xfTxf；2、xfTxf1；3、fxTfxT；4、)(1)(xfTxf；5、1)(1)()(xfxfTxf；6、)(1)(1)(xfxfTxf．◆函数的点对称定理3：函数xfy满足bxafxaf2，则函数xfy的图象关于点ba,对称.-5-推论1：函数xfy满足0xafxaf，则函数xfy的图象关于点0,a对称.推论2：函数xfy满足0xfxf，则函数xfy的图象关于原点0,0对称.（总结：同号看周期，异号看对称）针对性练习：1、设函数)(xfy的定义域为R，且满足0)2()(xfxf，则)(xfy图象关于________对称。2、设函数)(xfy的定义域为R，且满足)1()1(xfxf，则)(xfy图象关于________对称。3、设函数)(xfy的定义域为R，且满足)1()1(xfxf，则)1(xfy图象关于______对称,)(xfy图象关于__________对称。4、已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，xxf)(，则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．25、已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则()A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff6、设()fx是定义在R上以6为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，且()yfx的图像关于直线3x对称，则下面正确的结论是（）A.(1.5)(3.5)(6.5)fffB.(3.5)(1.5)(6.5)fffC.(6.5)(3.5)(1.5)fffD.(3.5)(6.5)(1.5)fff