函数的奇偶性

1函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()fxfxfxfxfx，f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()fxfxfxfxfx，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()fx的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()fx的定义域，化简函数()fx的解析式；（3）求()fx，可根据()fx与()fx之间的关系，判断函数()fx的奇偶性.若()fx=-()fx，则()fx是奇函数；若()fx=()fx，则()fx是偶函数；若()fx()fx，则()fx既不是奇函数，也不是偶函数；若()fx()fx且()fx=-()fx，则()fx既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法2（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与()fx之一是否相等.（2）验证法：在判断()fx与()fx的关系时，只需验证()fx()fx=0及()1()fxfx是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx与()fx的关系.首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()fx与()fx对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知()fx是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()fx在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知()fx是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()fx在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：(1)1-()(1)1xfxxx；(2)f(x)=x2-4|x|+3；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；(4)21-()|2|-2xfxx；(5)22-(0)()(0)xxxfxxxx；(6)1()[()-()]()2fxgxgxxR【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；3(4)2-1x11-x0x-1,00,1x0x-4x+22且221-1-()(2)-2xxfxxx221-(-)1-(-)--()-xxfxfxxx，∴f(x)为奇函数；(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22fxgxgxgxgxfx，∴f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xfxx；(2)()|1||1|fxxx；(3)222()1xxfxx；(4)22x2x1(x0)f(x)0(x0)x2x1(x0).【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()fx的定义域是R，又223()3()()()33xxfxfxxx，()fx是奇函数．（2）()fx的定义域是R，又()|1||1||1||1|()fxxxxxfx，()fx是偶函数．（3）22()()()11fxxxxx()()()()fxfxfxfx且，∴()fx为非奇非偶函数．（4）任取x0则-x0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x0，则-x0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0)∴x∈R时，f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶4函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()fx和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.A．()fx+|g(x)|是偶函数B．()fx-|g(x)|是奇函数C．|()fx|+g(x)是偶函数D．|()fx|-g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数(),fxxR，若对于任意实数,ab都有()()()fabfafb，判断()fx的奇偶性.【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,ab，都有()()()fabfafb，可以令,ab为某些特殊值，得出()()fxfx.设0,a则()(0)()fbffb，(0)0f.又设,axbx，则(0)()()ffxfx，()()fxfx，()fx是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()fx与()fx之间的关系，因此需要先求出(0)f的值才行.举一反三：【变式1】已知函数(),fxxR，若对于任意实数12,xx，都有121212()()2()()fxxfxxfxfx，判断函数()fx的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令120,,xxx得()()2(0)()fxfxffx，令210,,xxx得()()2(0)()fxfxffx由上两式得：()()()()fxfxfxfx，即()()fxfx()fx是偶函数.5类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3.f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2Hxafxbgx在0,上的最大值为5，则()Hx在（-,2）上的最小值为．【答案】-1【解析】考虑到(),()fxgx均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()Hx与()Hx的关系．()Hx+()Hx=()()2()()2afxbgxafxbgx()(),()()fxfxgxgx，()()4HxHx．当0x时，()4()HxHx，而0x，()5Hx，()1Hx()Hx在(,0)上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()afxbgx也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x时，()Hx的最大值为5，0x时()()afxbgx的最大值为3，0x时()()afxbgx的最小值为-3，0x时，()Hx的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2)∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8=x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g便能迎刃而解.例4.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()31fxxx，求()fx的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.xxxfxxxxx6【解析】()fx是定义在R上的奇函数，()()fxfx，当0x时，0x，2()()()3()1fxfxxx=231xx又奇函数()fx在原点有定义，(0)0f．2231,0,()0,0,31,0.xxxfxxxxx【总结升华】若奇函数()fx在0x处有意义，则必有(0)0f，即它的图象必过原点（0，0）．举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性356732例3】【变式1】（1）已知偶函数()fx的定义域是R，当0x时2()31fxxx，求()fx的解析式.（2）已知奇函数()gx的定义域是R，当0x时2()21gxxx，求()gx的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)xxxfxxxx；（2）2221(0)()0021(0)xxxgxxxxx　　　（）例5.定义域在区间[－2，2]上的偶函数()gx，当x≥0时，()gx是单调递减的，若(1)()gmgm成立，求m的