函数的性质综合应用

训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性.训练题型(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题.解题策略(1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.一、选择题1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是()A．y＝log3xB．y＝3|x|C．y＝x12D．y＝x32．(2016·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f20152等于()A.3＋1B.3－1C．－3－1D．－3＋13．(2016·西安模拟)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()A．f13f(2)f12B．f12f(2)f13C．f12f13f(2)D．f(2)f12f134．已知函数f(x)＝log13(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C.－12，2D.－12，25．(2016·威海模拟)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)0的解集为()A．{x|x2或x－2}B．{x|－2x2}C．{x|x0或x4}D．{x|0x4}6．(2016·杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x20且x1x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A．可能为0B．恒大于0C．恒小于0D．可正可负7．(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝1，x∈Q，0，x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，现有关于函数f(x)的如下四个命题：①f(f(x))＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．48．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期T＝2；②若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝1x＋1与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＝1x－1.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题9．(2016·孝感模拟)已知y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f(x)＝________________.10．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(把正确的序号都填上)①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝x2；③f(x)＝sinx；④f(x)＝cos2x.11．(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f(x)＝－x2＋4x－3，1≤x≤3，x－3，x3，若在其定义域内存在n(n≥2，n∈N*)个不同的数x1，x2，…，xn，使得fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn，则n的最大值是________；若n＝2，则fxnxn的最大值是________．12．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝fx，x0，－fx，x0，给出下列命题：①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是奇函数；③当a0时，若x1x20，x1＋x20，则F(x1)＋F(x2)0成立；④当a0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．D2.D3．C[由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f12＝f32，f13＝f53，又当x≥1时，f(x)＝lnx，单调递增，所以f32f53f(2)，即f12f13f(2)．]4．D[令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝log13t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝log13(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a0，即－－a2≤1，g10，所以a≤2，a－12，即－12a≤2.]5．C[由题意可知f(－x)＝f(x)，则(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，即(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a0.f(2－x)0，即ax(x－4)0，解得x0或x4.故选C.]6．C[由x1x20，不妨设x10，x20.∵x1＋x20，∴x1－x20.由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数，又由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)＋f(x2)0.故选C.]7．C[命题①，因为f(x)＝0或f(x)＝1，即f(x)∈Q，所以f(f(x))＝1，故①错误；命题②，因为x和－x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(－x)＝f(x)，故②正确；命题③，因为T为有理数，所以x＋T和x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(x＋T)＝f(x)，故③正确；命题④，取B，C两点在x轴上，A点在直线y＝1上，由两直线距离是1，可知BC边上的高为1，所以三角形的边长是233，当A的横坐标为有理数x1时，B，C的横坐标分别为x1±33，为无理数，所以④也成立．故选C.]8．C[在f(x＋1)＝f(3＋x)中，以x－1代换x，得f(x)＝f(2＋x)，所以①正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是y＝f(x)上的两点，且x1＝x＋1，x2＝3－x，有x1＋x22＝2，由f(x1)＝f(x2)，得y1＝y2，即P，Q关于直线x＝2对称，所以②正确；函数y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(3－x)的图象由y＝f(x)的图象关于y轴对称得y＝f(－x)，再向右平移3个单位得到，即y＝f[－(x－3)]＝f(3－x)，于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)必在y＝1x＋1的图象上，有－y＝1－x＋1，即y＝1x－1，于是f(x)＝1x－1，所以④正确．]9．－x2＋22x－120解析∵f(x)在R上是周期为4的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．由f(x＋4)＝f(x)，可得f(x－12)＝f(x)．设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－(x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.10．①③④解析因为f(x)＝f(2a－x)(a≠0)，所以函数f(x)的对称轴为x＝a.所以准偶函数的定义等价于“若函数f(x)存在对称轴x＝a(a≠0)，则称f(x)为准偶函数”．因为函数f(x)＝|x＋2|的对称轴为x＝－2，所以f(x)＝|x＋2|是准偶函数；因为f(x)＝x2只有一条对称轴是x＝0，不满足准偶函数的定义，所以f(x)＝x2不是准偶函数；因为x＝π2是函数f(x)＝sinx的一条对称轴，所以函数f(x)＝sinx是准偶函数；因为x＝π是函数f(x)＝cos2x的一条对称轴，所以函数f(x)＝cos2x是准偶函数．综上，应填①③④.11．34－23解析画出函数f(x)＝－x2＋4x－3，1≤x≤3，x－3，x3的图象，如图，使得fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn的x1，x2，…，xn的个数就是直线y＝kx与y＝f(x)的图象的交点个数，由图知直线y＝kx与y＝f(x)的图象的交点个数最多有三个，所以n的最大值是3.当n＝2时，fxnxn的最大值就是直线y＝kx与－x2＋4x－3(1≤x≤3)的图象相切时k的值，由判别式可得k＝4－23(k＝4＋23不合题意舍去)，即fxnxn的最大值是4－23.12．②③解析①因为|f(x)|＝fx，|x|≥2－1a，－fx，0|x|2－1a，而F(x)＝fx，x0，－fx，x0，这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，即F(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1，－x0，F(－x)＝－f(－x)＝－(alog2|－x|＋1)＝－(alog2|x|＋1)＝－F(x)；当x0时，F(x)＝－f(x)＝－(alog2|x|＋1)，－x0，F(－x)＝f(－x)＝alog2|－x|＋1＝alog2|x|＋1＝－F(x)，所以函数F(x)是奇函数，②正确．③当a0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x1x20，x1＋x20，不妨设x10，则x20，x1－x20，所以F(x1)F(－x2)0，又因为函数F(x)是奇函数，－F(x2)＝F(－x2)，所以F(x1)＋F(x2)0，③正确．④函数y＝F(x2－2x－3)＝alog2x2－2x－3＋1，x3或x－1，－alog2－x2＋2x＋3－1，－1x3，当x3或x－1时，因为a0，所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．