函数的最值知识点总结与经典题型归纳

1函数的最值知识梳理1.函数最大值一般地，设函数()yfx的定义域为I.如果存在实数M满足：①对于任意x都有()fxM.②存在0xI，使得0()fxM.那么，称M是函数()yfx的最大值.2.函数最小值一般地，设函数()yfx的定义域为I.如果存在实数M满足：①对于任意x都有()fxM.②存在0xI，使得0()fxM.那么，称M是函数()yfx的最小值.注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．3.函数的最值与其单调性的关系．（1）若函数在闭区间[,]ab上是减函数，则()fx在[,]ab上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；（2）若函数在闭区间[,]ab上是增函数，则()fx在[,]ab上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．4．二次函数在闭区间上的最值．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出()yfx的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．例题精讲【例1】求函数()3fxx在[0,3]上的最大值和最小值．解：因为函数()3fxx在[0,3]上单调递增所以()3fxx在[0,3]上的最大值为(3)339f；()3fxx在[0,3]上的最小值为(0)300f；【例2】求函数12xy在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：函数12xy的图象如下图所示，所以12xy在区间[2，6]上单调递减；所以12xy在区间[2，6]上的最大值为2221；最小值为22615.2题型一利用图象求最值【例3】求下列函数的最大值和最小值.（1）25332,[,]22yxxx（2）|1||2|yxx解：（1）二次函数232yxx的对称轴为x＝－1.画出函数的图象，由下图，可知：当1x时，max4y；当32x时，min94y.所以函数25332,[,]22yxxx最大值为4，最小值为94.（2）3,2|1||2|21,123,1xyxxxxx作出函数图象，如下图，可知：[3,3]y所以函数的最大值为3,最小值为－3.题型二利用函数单调性求最值【例4】求函数9()fxxx在[1,3]x上的最大值和最小值.分析：先判断函数的单调性，再求最值.解：因为1213xx所以12121299()()()fxfxxxxx121299()xxxx2112129()xxxxxx12129()(1)xxxx因为1213xx所以120xx，129xx所以12910xx，所以12()()0fxfx,12()()fxfx所以9()fxxx在区间[1,3]上单调递减；所以求函数()fx在[1,3]x上的最小值为918(3)333f，最大值为9(1)1101f.题型三函数最值的应用3【例5】已知函数22()xxafxx，[1,)x（1）当12a时，求函数()fx的最小值.（2）若对任意的[1,)x，()0fx恒成立，试求a的取值范围.解：（1）当12a时，2122()xxfxx设121xx则12121211()()(2)(2)22fxfxxxxx21121212121221()()22xxxxxxxxxxxx因为120xx，所以1221xx，12210xx所以12()()0fxfx，12()()fxfx所以()fx在区间[1,)上单调递增所以的最小值为17(1)1222f.（2）()0fx对[1,)x恒成立⇔220xxa对[1,)x恒成立⇔22axx对[1,)x恒成立．令222(1)1uxxx，其在[1,)上是减函数，∴当1x时，max3u.因此3a.故实数a的取值范围是(3,)．课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1．函数f(x)＝2x＋6x∈[1，2]x＋7x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对2．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有()A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)4C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)3.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]4．函数y＝|x－3|－|x＋1|有()A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在5．函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．6．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为________．7.已知函数2()23fxxx，若[,2]xtt时，求函数()fx的最值.8.求函数()1xfxx在区间[2,5]上的最大值和最小值.9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].5（1）当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求使函数y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的a的取值范围．