初三二次函数动点问题(教师版)

1/5二次函数动点问题1、如图，已知二次函数y=423412xx的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．(1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?2、已知抛物线)0(2acbxaxy经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线2x。（1）求抛物线与x轴的另一交点A坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？4、如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．25图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx2/5yP(x，y)ABCONDxy＝kx＋45.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．6、如图，二次函数y=x2axb的图像与x轴交于A(21，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；(1)求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；(2)在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3)在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．(1)求直线与抛物线的解析式．(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝，求当△PON的面积最大时tan的值．(3)若动点P保持(2)中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的815？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．xyOQPDBCAyABCOx3/5答案：1、2、解（1）∵抛物线Cbxaxy2的对称轴是直线2x∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0）（2）∵点C（0，8）在抛物线Cbxaxy2的图象上8C将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得824086360baba解得3832ba∴所求解析式为83832xxy[也可用(6)(2)yaxx代入C(0,8)求出a]（3）依题意，AE=m，则BE=8-m∵OA=6，OC=8，∴AC=10∵EF//AC∴BEF≌BAC4540mEFABBFACEF即过点F作FG⊥AB，垂足为G，则54CABSFEGSininmmFGEFFG845405454BFEBCESSS)8)(8(218)8(21mmmmm4212（4）存在.理由如下：0218)4(2142122且mmmS∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8∵m=4∴点E的坐标为（——-2，0）BCE为等腰三角形3、解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=AB=4．∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．由题意，有16420,16422.abab解得1,161.4ab∴所求抛物线的解析式为2112164yxx．（2）将抛物线的解析式配方，得21122164yx．∴抛物线的对称轴为x=2．∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．∴t=6－3t，即t=32．（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有BPOQOBBO或BPBOOBOQ，即PB=OQ或OB2=PB·QO．①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．当OB2=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0．解得12223tt，．②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．当OB2=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t2－8t－4=0．解得4273t．∵t=42730．故舍去，∴t=4273．∴当t=2或t=23或t=4或t=4273秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．4/54、解：（1）（2）①点P不在直线ME上②依题意可知：P（,），N（，）当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：=+=+==∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，=当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形.依题意可得，==3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值21/4．5、解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）∴c＝－6，即y＝ax2＋bx－6由2,21441260baab解得：116a，14b∴该抛物线的解析式为2116164yxx方法二：∵A、B关于x＝2对称∴A（－8，0）设(8)(12)yaxx＝＋－C在抛物线上，∴－6＝a×8×(12)，即a＝1/16∴该抛物线解析式为：2116164yxx（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝2286＝10＝AD∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥ACDB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ为△ABC的中位线∴DQ＝12AC＝5AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5∴t＝5÷1＝5（秒）∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在Rt△BOC中，BC＝22612＝65∴CQ＝35∴点Q的运动速度为每秒355单位长度．（3）存在．如下图，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝2293＝310①MP＝MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：602bkb，解得：36kb∴y＝3x－6当x＝1时，y＝－3∴M1(1，－3)②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：42＋y2＝90，即y＝±74∴M2（1，74）；M3（1，－74）②PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：22(3)590y，即y＝－3±65∴M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65）综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，74）；M3（1，－74）；M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65）xxy42ttttt4230tPNCPCDSSSODCD21BCPN21232124212ttt332tt421)23(2tt233230t最大S42103或tABCDSS矩形213221xyOQPDBCAM5M3M4M2M1FHExyOQPDBCA5/56、(1)根据题意，将A(21，0)，B(2，0)代入y=x2axb中，得02402141baba，解这个方程，得a=23，b=1，∴该拋物线的解析式为y=x223x1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC=22OCOA=221)21(=25。在△BOC中，BC=22OCOB=2212=5。AB=OAOB=212=25，∵AC2BC2=455=425=AB2，∴△ABC是直角三角形。(2)点D的坐标为(23，1)。(3)存在。由(1)知，ACBC。若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y=21x1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=21xb，把点A(21，0)代入直线AP的解析式，求得b=41，∴直线AP的解析式为y=21x41。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，∴点P的纵坐标相等，即x223x1=21x41，解得x1=25，x2=21(舍去)。当x=25时，y=23，∴点P(25，23)。若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。可求得直线AC的解析式为y=2x1。直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2xb，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b=4，∴直线BP的解析式为y=2x4。∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，即x223x1=2x4，解得x1=25，x2=2(舍去)。当x=25时，y=9，∴点P的坐标为(25，9)。综上所述，满足题目条件的点P为(25，23)或(25，9)。7、解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=-2x2+5x（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（），此时tan∠PON=（3）存在；把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4），把y=0代入抛物线y=-2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0），设动点P坐标为（x，y），其中y=-2x2+5x（0＜