初二数学人教版因式分解-讲义

1八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：222222222222abcabbccaabcabbcca222()()()0abbccaabc选C练习(1))(3)(2xybyxa(2)1222baba(3)（x－1）（x＋4）－36(4)（m2＋n2）2－4m2n2(5)－2a3＋12a2－18a；(6)9a2(x－y)＋4b2(y－x)；(7)(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.三、分组分解法.2（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=))((banm例2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx=)())((yxayxyx=))((ayxyx例4、分解因式：2222cbaba解：原式=222)2(cbaba=22)(cba=))((cbacba练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；3（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。练习5、分解因式(1)24142xx(2)36152aa3)542xx（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例7、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx练习7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx（三）其他类型例8、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba练习8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm4例9、22672yxyx例10、2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy练习9、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba练习一、填空题1．分解因式：m3-4m=.2.分解因式：x2-4y2=_______.3.分解因式：244xx=_________________。4.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为.5、若5,6xyxy，则22xyxy=_________，2222xy=__________。二、选择题6.下列多项式能分解因式的是（）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+47．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）8.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：9.2294nm10、mmnnnm11、3222aabab12、222416xx13、22)(16)(9nmnm；5因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：通常采用一“提”、二“公”、三“分”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；中考点拨例.在ABC中，三边a,b,c满足abcabbc222166100求证：acb2证明：abcabbc222166100aabbcbcbabcbabcabcabcabcabcabcacb2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。练习已知：a、b、c为三角形的三边，比较abcab222224和的大小。6：因式分解练习题精选一、分解因式：二．求代数式求值1、已知312yx，2xy，求43342yxyx的值。2、若x、y互为相反数，且4)1()2(22yx，求x、y的值3、已知2ba，求)(8)(22222baba的值三、计算：（1）0.7566.24366.3（3）2244222568562（3）)1011)(911()311)(211(2232四、试说明：对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被动24整除五、若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．六、用简便方法计算：⑴20042-2005×2003⑵22293