含参数的一元二次不等式的解法

第二章不等式【考点分析】不等式是研究数学问题的重要工具，而含有参数的一元二次不等式的解法常与函数、导数结合，是求函数单调区间的基础。【重要思想】分类讨论一轮总复习.文科数学巩固提升知识回顾第二节含参数的一元二次不等式的解法典例剖析作业一、知识回顾1.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集___{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集12/}或xxxxx{/}2bxxa12/}xxxx∅∅2、解一元二次不等式的方法：数形结合充分利用其对应二次函数的图象，先看_____,开口再看____________,判别式【二次项系数】【图象与x轴交点个数】最后看__________.根的大小【十字相乘法因式分解或求根公式】补充：如果能因式分解，说明对应方程一定有根。二、典例剖析例1解关于x的不等式(1)()0()xxaaR解：方程的两根(1)()0xxaaxx21,1当1a时，不等式的解集为；axx1/当时，不等式的解集为；1a当时，不等式的解集为1a/1xax变式1解关于x的不等式2(1)0xaxa变式2解关于x的不等式2(1)10axax)(Ra解：原不等式可化为0)1)(1(xax当时，，不等式的解集为0a01x1/xx当时，0a11a不等式的解集为1/1xxxa或当0a时，还需比较的大小。11与a当即时，不等式的解集为10a11aaxx11/当即时，不等式的解集为1a11a①②③④⑤当即时，不等式的解集为1a11a1/1xxa●三个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．例2解关于x的不等式)(012Raaxx解：42a（1）当即时，不等式的解集为022aR（2）当即时不等式的解集为02a2/axx(3)当即时，022aa或方程的两根210xax24,242221aaxaax不等式的解集为2424/22aaxaaxx或点评：解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．先开口再判别式两根大小能因式分解解题心得你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次进行分类讨论？（1）22230()xaxaaR（2）2(22)40()axaxaR考点一含参数的一元二次不等式的解法三、巩固提升误区警示：对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参数变量时，往往需要针对这个系数是否为0进行分类讨论，并且如果对应的一元二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论.伪二次，别遗漏！考点二求函数的单调区间【例2】已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．求f(x)的单调区间；解：f′(x)＝2(21)2axaxx（ax－1）（x－2）x(x＞0)．①当a=0时，2'()xfxx,令f′(x)＞0得0x2;令f′(x)0得x2.故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0a时，,令f′(x)＞0得0x2;令f′(x)0得x2.故f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(2，＋∞)．21③当0＜a＜12时，1a＞2，在区间(0，2)和1a，＋∞上，f′(x)＞0；在区间2，1a上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，1a，＋∞，单调递减区间是2，1a.④当a＝12时，f′(x)＝（x－2）22x≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．⑤当a＞12时，0＜1a＜2，在区间0，1a和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间1a，2上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是0，1a，(2，＋∞)，单调递减区间是1a，2.结合定义域！综上，当时，的增区间是（0,2），减区间是（2，）；0a)(xf210a当时，的增区间是)(xf),1(),2,0(a减区间是)1,2(a当时，的增区间是21a)(xf),0(当时，的增区间是减区间是21a)(xf1(0,),(2,)a1(,2)a作业1.解关于x的不等式．(1)12x2－ax＞a2(a∈R)；(2)ax－1x－2＞1(a＞0)．)(02Raaxax（3）解析：(1)由12x2－ax－a2＞0⇒(4x＋a)(3x－a)＞0⇒x＋a4x－a3＞0，①a＞0时，－a4＜a3，解集为{x|x＜－a4或x＞a3}；②a＝0时，x2＞0，解集为{x∈R且x≠0}；③a＜0时，－a4＞a3，解集为{x|x＜a3或x＞－a4}．(2)ax－1x－2－1＞0⇒a－1x＋2－ax－2＞0⇒[(a－1)x＋2－a](x－2)＞0.①当a＝1时，不等式的解为x＞2.②当a≠1时，关键是比较a－2a－1与2的大小．∵a－2a－1－2＝－aa－1，又a＞0，∴当a＜1时，a－2a－1＞2，不等式的解为2＜x＜a－2a－1；当a＞1时，a－2a－1＜2，不等式的解为x＜a－2a－1或x＞2.综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|2＜x＜a－2a－1}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a－2a－1或x＞2}．答案：(1)①a＞0时，解集为{x|x＜－a4或x＞a3}；②a＝0时，解集为{x∈R且x≠0}；③a＜0时，解集为{x|x＜a3或x＞－a4}．(2)当0＜a＜1时，解集为{x|2＜x＜a－2a－1}；当a＝1时，解集为{x|x＞2}；当a＞1时，解集为{x|x＜a－2a－1或x＞2}.(3)解答：原不等式即为(x－a)(x－a2)＜0.因为a－a2＝a(1－a)，所以(1)当a＜0或a＞1时，a＜a2，此时不等式的解为a＜x＜a2；(2)当0＜a＜1时，a＞a2，此时不等式的解为a2＜x＜a；(3)当a＝0或a＝1时，a＝a2，原不等式变形为(x－a)2＜0，不成立．综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅.2.已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.思维启迪：(1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a的符号，然后利用根与系数的关系列出a，b的方程组，求a，b的值．(2)所给不等式含有参数c，因此需对c讨论写出解集．解析：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅.所以，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.答案：(1)a＝1，b＝2(2)当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；当c＝2时，解集为∅.【典例2】(2014·广东高考节选)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)．求函数f(x)的单调区间．[解]f′(x)＝x2＋2x＋a开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)．①当1－a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增．②当1－a0时，即a1时，令f′(x)＝0，解得x1＝－2－41－a2＝－1－1－a，x2＝－1＋1－a.令f′(x)0，解得x－1－1－a或x－1＋1－a；令f′(x)0，解得－1－1－ax－1＋1－a；所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．综上所述：当a≥1时，f(x)在R上单调递增；当a1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围．(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴F′(x)＝2ax－2x＝2ax2－1x(x0)．①当a0时，由ax2－10,得x1a.由ax2－10，得0x1a.故当a0时，F(x)在区间1a，＋∞上单调递增，在区间0，1a上单调递减．②当a≤0时，F′(x)0(x0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a＝2lnxx2＝φ(x)在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x)＝2x1－2lnxx4在(2，e)上为增函数，在(e，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ(e)＝1e，而φ(e)＝2e2φ(2)＝2ln24＝ln22＝φ(2)．∴φ(x)min＝φ(e)，如图当f(x)＝g(x)在[2，e]上有两个不等解时有φ(x)min＝ln22，故a的取值范围为ln22≤a1e.