因式分解法解一元二次方程典型例题

典型例题一例用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．解：（1）方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0y＋1＝0或y＋6＝0∴y1＝－1，y2＝－6(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0∴t1＝21，t2＝3．(3)方程可变形为2x2－3x＝0x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0∴x1＝0，x2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考典型例题二例用因式分解法解下列方程6223362xxx解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(xx∴032x或023x∴32,2321xx说明:对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例用因式分解法解下列方程。1522yy解:移项得：01522yy把方程左边因式分解得：0)3)(52(yy∴052y或03y∴.3,2521yy说明:在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解下列方程（1）021362xx；（2）0)23(9)12(322xx；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.解：（1）原方程可变形为,0)2)(16(xx016x或02x，∴2,6121xx.（2）原方程可化为0)633()332(22xx，即0)633332)(633332(xxxx，∴0)363)(6335(xx，∴06335x或0363x，∴321,513221xx.说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题五例用因式分解法解方程：（1）03652xx；（2）0)32(3)32(22xx；（3）0223)222(2xx；（4）066)2332(2xy.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为0BA的形式，然后通过0A或0B，求出21,xx.解：（1）0)4)(9(xx，09x或04x..4,921xx（2）0)364)(32(xx，即0)94)(32(xx.∴032x或094x，∴.49,2321xx（3）0)223()1(xx，即01x或0)223(x.∴223,121xx.（4）0)23)(32(yy，即032y或023y，∴23,3221yy.说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.典型例题六例用适当方法解下列方程：（1）0522x；（2）)21()1(2252xxxx；（3）14)1(2)3(222xxx；（4）010342xx（5）04732xx（用配方法）解：（1）移项，得522x，方程两边都除以2，得252x，解这个方程，得25x，1021x，即10211x，.10212x（2）展开，整理，得.042xx方程可变形为0)14(xx0x或014x，∴.41,021xx（3）展开，整理，得0151642xx，方程可变形为0)52)(32(xx032x或052x∴.25,2321xx（4）∵,10,34,1cba081014)34(422acb，∴.23222234128)34(x∴2321x,2322x（5）移项，得4732xx，方程各项都除以3，得.34372xx配方，得222)67(34)67(37xx，361)67(2x解这个方程，得6167x,即341x，.12x说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式02cbxax(0a)，若0b，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题．若0a，0b,0c时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程04)3(2x可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程)2)(1()14)(2(xxxx也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得0)]1()14)[(2(xxx，用因式分解法求解，得32,221xx，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以)2(x，这会丢掉一个根2x．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．典型例题七例解关于x的方程031120222nmnxxm（0m）解法一：原方程可变形为0)34)(5(nmxnmx05nmx或034nmx∵0m，∴.43,521mnxmnx解法二：∵220ma，mnb11，23nc，acb422)11(mn2204m)3(2n036122nm，又0m，∴.40191120236112222mmnmnmnmmnx∴.43,521mnxmnx说明解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．典型例题八例已知12m，试解关于x的方程).1)(1(2)2(xxxmx分析由12m，容易得到3m或1m．整理关干x的方程，得032)1(2mxxm．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当01m-时，方程是一元一次方程；当01m时，方程是一元二次方程。解：由12m，得12m,∴.1,321mm整理)1)(1(2)2(xxxmx，得.032)1(2mxxm当3m时，原方程为03622xx，解得233,23321xx当1m时，原方程为032x，解得.23x∴当3m时，233,23321xx当1m时，.23x填空题1．方程)2()2(2xx的根是2．方程46)1)(3(xxx的解是3．方程02)12(3)12(2yy的解是答案：1．3221xx，2．212121xx，3．23121yy，.解答题1．用因式分解法解下列方程：（1）42)2(2xx；（2）0)3()3(42xxx；（3）0611102xx；（4）22)1(4)2(9xx。（5）02xx；（6）03522xx；（7）01072xx；（8）01892xx；（9）0611102xx；（10）071162xx.2.用因式分解法解下列方程：（1）5)1)(3(xx；（2）065)4(9)4(142xx；（3）02)21(5)21(32xx。3．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：（1）022xkxx；（2）02222nmmxx；（3）054322mmxx；（4）018171522mxxm)0(m；（5）0)(222abxbaabx)0(ab4．用适当的方法解下列方程：（1）04942x；（2）0942xx；（3）22xx；（4）62422xx；（5）012xx；（6）02522xx.5．已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程03522xx的根，求这个三角形的周长.答案：1．（1）0221xx，；（2）4321xx，；（3）522321xx，；（4）54821xx，.（5）01x，12x（6）51x，72x（7）21x，52x（8）31x，62x（9）231x，522x（10）211x，372x.2.（1）4221xx，；（2）7412321xx，；（3）256121xx，.3．（1）01x，122kx（2）nmx1，nmx2（3）mx61，mx92（4）mx321，mx592（5）abx1，bax2.4．（1）271x，272x（2）01x，492x（3）21x，12x（4）261x，242x（5）2511x，2512x（6）351x，352x5．提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为5.4.