均值不等式八法

1运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例１已知01x，求函数321yxxx的最大值。解：222111111yxxxxxxx311111322241422327xxxxxx。当且仅当112xx，即13x时，上式取“=”。故max3227y。评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。例2求函数22101yxxx的最大值。解：2242214122xxyxxx。因32222221122122327xxxxxx，当且仅当2212xx，即63x时，上式取“=”。故max239y。评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3已知02x，求函数264yxx的最大值。解：222222236418244yxxxxx3222324418818327xxx。当且仅当2224xx，即233x时，上式取“=”。2故max3218827y，又max3230,3yy。二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4设1x，求函数521xxyx的最小值。解：141144152159111xxyxxxxx。当且仅当1x时，上式取“=”。故min9y。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5已知1x，求函数22413xyx的最大值。解：1,10xx，22412424342241414141xyxxxx。当且仅当1x时，上式取“=”。故max3y。评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6已知0x，求函数2cossinxyx的最小值。解：因为0x，所以022x，令tan2xt，则0t。所以211cos1131323sinsin22222xtttytxxttt。当且仅当1322tt，即3,33tx时，上式取“=”。故min3y。评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。三、拼凑常数降幂例7若332,,ababR，求证：2ab。分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是1ab，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。3证明：33333333333333113113,113113aaabbb。33463,2.ababab当且仅当1ab时，上述各式取“=”，故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。例8若332,,xyxyR，求225xyxy的最大值。解：333333311,311,311,xxxxyyyyxyxy33333333221151775733xxyyxyxyxyxy。当且仅当1ab时，上述各式取“=”，故225xyxy的最大值为7。例9已知,,0,1abcabc，求证：333abcabbcca。证明：333333131,131,131ababbcbccaca，333323abcabbcca，又322233abbccaabc，3333333223,abcabbccaabcabbcca。当且仅当1abc时，上述各式取“=”，故原不等式得证。四、拼凑常数升幂例10若,,abcR，且1abc，求证55543abc。分析：已知与要求证的不等式都是关于,,abc的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是13abc，故应拼凑163，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：161616161616255,255,255333333aabbcc，1625553132.555433abcabcabc。当且仅当13abc时，上述各式取“=”，故原不等式得证。例11若2,,,ababR，求证：332ab。证明：33333331111,31111,aabb3334abab。又332,2abab。当且仅当1ab时，上述各式取“=”，故原不等式得证。五、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例12已知28,,0,1xyxy，求xy的最小值。4解：222846446413223264yxyxxyxyxyxyxyxy。当且仅当2812xy时，即4.16xy，上式取“=”，故min64xy。例13已知01x，求函数411yxx的最小值。解：因为01x，所以10x。所以414141159111xxyxxxxxxxx。当且仅当411xxxx时，即23x，上式取“=”，故min9y。例14若,,abcR，求证22212abcabcbccaab。分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,abc的轮换对称式，当abc时，等式成立。此时22aabc，设2ambc，解得14m，所以2abc应拼凑辅助式4bc为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。证明：2222222,2,2444444abcabcbcabcacabcababcbcbccacaabab。22212abcabcbccaab。当且仅当abc时，上述各式取“=”，故原不等式得证。六、引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。例15已知,,xyzR，且1xyz，求149xyz的最小值。解：设0，故有10xyz。1491491491xyzxxxxyzxyzxyz24612。当且仅当149,,xyzxyz同时成立时上述不等式取“=”，即123,,xyz，代入1xyz，解得36，此时1236，故149xyz的最小值为36。5七、引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例16设12,,,naaa为互不相等的正整数，求证31222221111123123naaaann。证明：记3122222123nnaaaabn，构造对偶式1231111nndaaaa，则3122222123111111112123123nnnnaaaabdaaanan，当且仅当,iaiiNin时，等号成立。又因为12,,,naaa为互不相等的正整数，所以1111123ndn，因此1111123nbn。评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。八、确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。例17在ABC中，证明1coscoscos8ABC。分析：coscoscosABC为轮换对称式，即,,ABC的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。证明：当cos0A时，原不等式显然成立。当cos0A时，1coscoscoscoscoscos2ABCABCBC1coscoscos2ABCA2cos1cos111cos1cos2228AAAA。当且仅当cos()1cos1cosBCAA，即ABC为正三角形时，原不等式等号成立。综上所述，原不等式成立。评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到cos()BC，然后利用cos()BC的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。