培优专题-不等式培优资料(教师版)

1不等式（组）与方程（组）互化一、方程（组）转化为不等式（组）例1关于x的方程11ax的解是负数，则a的取值范围是（）A.1a；B.1a且0a；C.1a≤；D.1a≤或0a.分析：先解关于x的方程11ax，用含有字母a的式子表示未知数x，然后构造不等式组求解.解：解方程11ax，得x=a－1.又由关于x的方程的解是负数即x0，所以.0,01aa解得，a1且0a.故应选B.例2如果方程组33,13yxkyx的解x、y满足x＋y0，则k的取值范围是.分析：先解方程组，用含有k的式子表示x、y或直接表示x＋y，再根据x＋y0，构造不等式求解.解：解方程组33,13yxkyx，得x＋y=4k＋1.又由x＋y0，所以4k＋10，解得，k－4.二、不等式（组）转化为方程（组）例3已知不等式84xxm（m是常数）的解集是3x，求m．分析：先解关于x的不等式，再根据已知的解集构造方程求解.解：解不等式84xxm，得x38m.由3x，所以38m=3.解这个关于m的方程，得m=－1.例4（若不等式组.02,2xbax的解是－1x1，则（a＋b）2006=.分析：先解关于x的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解.2解：解不等式组.02,2xbax，得.2,2bxax由于这个不等式组有解，所以其解集应为a＋2x2b.又－1x1，所以.12,12ba解得，a=－3，b=2.故（a＋b）2006=（－3＋2）2006=1.例5.不等式10462xx的正整数解是方程231axxa的解，求aa221的值。解：由已知得：1122xx2，正整数解为x1代入方程，得：a2aa221414174不等式（组）中参数如何求一、利用性质，进行求解例1、如果关于x的不等式(a+1)x＞a+1的解集为x＜1,则a的取值范围是。解析：观察不等式解集可知，不等号的方向发生了改变，由此判断原不等式的两边都除以了同一个负数，所以a+1＜0，即a＜－1，此题逆用了不等式的一条性质；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.二、借助方程，进行求解例2、若不等式-3x+n0的解集是x2，则不等式-3x+n0的解集是_________。解析：虽然不等式与等式表面上看，应该是水火不相容，但实质上，它们有众多相似之处，所以借助方程可以帮助我们解决许多不等式问题。比较比较不等式与一元一次方程的解法可以发现，当不等式-3x+n0的解集是x2，则方程-3x+n=0的解是x=2，故-3×2+n=0，所以n=6。三、对照解集，进行求解例3、若关于x的不等式组bxxxax24)1(34)1(2的解集是－1＜x＜2,则式子(a+b)2006=解析：先化简3不等式组得32324bxax，因其解集是－1＜x＜2，所以对照解集根据“大大小小取中”可知必有4a+23=2且2b+3=－1，分别解得a=1,b=－2,所以（a+b）2006=(1－2)2006=1。例4、若关于x的不等式组mxxx63148的解集为x＞6m－3,则m的取值范围是。解析：先化简不等式组得363mxx，已知解集为x＞6m－3,对照解集根据“同大取大”的方法知：6m－3大于或等于3，即6m－3≥3，解得m≥1。四、借助数轴，进行求解例5、若关于x的不等式组3(2)224xxaxx，有解，则实数a的取值范围是．解析：运用数形结合的思想,借助于数轴,可以很清楚的看出不等式组的解集的情况.要熟练掌握运用数轴解决有关不等式组解集问题的方法。解不等式组3(2)224xxaxx，可得22xax,对于2和2a之间的关系可以分以下三种情况，在数轴上表示为：容易看出，只有情况(3)有解，所以有22a,解得4a。例6关于x的不等式组x＋152＞x－32x＋23＜x＋a只有4个整数解，则a的取值范围是（）A.－5≤a≤－143B.－5≤a＜－143C.－5＜a≤－143D.－5＜a＜－143五、利用逆向思维，进行求解4例7、若关于x的不等式组axxa48232的解集中每一x值均不在一1≤x≤4的范围中，则a的取值范围是。解析：先化简不等式组得4232axax，由2a－3＞2a－4知原不等式组有解集为2a－4＜x＜2a－3，又由题意逆向思考可知原不等式组的解集落在x＜－1或x＞4的范围内，从而得到2a－3≤－1或2a－4≥4，所以解得a≤1或a≥4。六、多变元问题例8、已知：x、y、z是三个非负有理数，且满足3252xyzxyz，，若zyxs2，则S的最大值和最小值的和是多少？分析：用含一个字母的代数式表示S，并确定这个字母的取值范围，就可求得S的最大值和最小值。解：由已知得：2532yzxyzx解得：yxzx74313Sxxxx2743132由xyz000得不等式组xxx07430130解得：01x∴2≤S≤3所以，S的最大值与最小值的和为5注：含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。练习：1、若不等式组220xabx，的解集是11x，则2006()ab=__1___。52、已知不等式组3210xxa，≥无解，则a的取值范围是1a．3、若关于x的不等式x－m≥－1的解集如图所示，则m等于DA．0B．1C．2D．34、已知不等式1251122xax的解集为x12，试求a的取值范围。a=-175、当k为何整数值时，方程组xyxyk2693有正整数解？1k4,k取2或36、已知不等式30xm的正整数解为1，2，3，那么m的取值范围是____129m________。7、若方程249810xax的解小于零，求a的取值范围。a19928、设不等式2340abxab的解集为x49，求不等式abxab4230的解。X-0.259、已知方程组xymxy26，若方程组有非负整数解，求正整数m的值。m=1,3设计最优方案，请不等式组帮忙例１某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别电视机洗衣机进价（元/台）18001500售价（元/台）20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元．（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）分析：本题是一道现实生活中比较常见的采购方案问题，根据题意可知，购进的电视机的台数不少于洗衣机的一半；两种电器的总成本价不多于161800元，据此可列出不等式组，由两种电器的台数都是正整数这一实际要求，将问题转化为求不等式组的正整数解，进而设计出进货方案，并通过分析判断确定出获利最多的进货方案．解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得1(100),218001500(100)161800.xxxx，解不等式组，得1333≤x≤1393．因为x为正整数，所以x可取的值是34,35,36,37,38,39.432106所以商店有以下6种进货方案：①购进电视机34台，购进洗衣机66台；②购进电视机35台，购进洗衣机65台；③购进电视机36台，购进洗衣机64台；④购进电视机37台，购进洗衣机63台；⑤购进电视机38台，购进洗衣机62台；⑥购进电视机39台，购进洗衣机61台；（２）根据表格的信息可知，售出一台电视机可获利200元，而售出一台洗衣机仅获利100元，据此可知购进的电视机越多,商店获利越多．所以选择第6种方案即购进电视机39台，购进洗衣机61台商店获利最多．此时商店获得利润为：（2000－1800）×39＋(1600－1500)×61=13900(元)．例２某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．分析：本题以学生野外考察租车为载体，让学生确定租车方案并判断选择最省钱的一种方案．解题的关键在于第⑴问，由题意可知,租用甲、乙两辆车所满载的人数和不小于290名，满载的行李数之和不小于100件．据此可列出不等式组，由租车辆数为整数这一实际要求，将问题转化成求不等式组的正整数解，进而设计出租车方案，通过分析判断选择出最省钱的方案．解：⑴因为租用甲种汽车x辆，所以租用乙种汽车(8)x辆，由题意得：4030(8)2901020(8)100xxxx≥≥解得：56x≤≤．因为x为整数，所以5x或6．所以有2种租车方案：①租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；②租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．⑵第一种租车方案的费用为520003180015400元；第二种租车方案的费用为620002180015600元．7∴第一种租车方案更省费用．例3“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．分析：（1）385429.2∴单独租用42座客车需10辆，租金为320103200元．385606.4∴单独租用60座客车需7辆，租金为46073220元（2）设租用42座客车x辆，则60座客车(8)x辆，由题意得：4260(8)385320460(8)3200.xxxx，≥≤解之得：3535718x≤≤．x∵取整数，45x，∴．当4x时，租金为3204460(84)3120元；当5x时，租金为3205460(85)2980元．答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少．例4小亮妈妈下岗后开了一家糕点店．现有10.2千克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋．（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？分析：（1）设加工一般糕点x盒，则加工精制糕点(50)x盒．根据题意，x满足不等式组：0.30.1(50)10.20.10.3(50)10.2xxxx，．≤≤解这个不等式组，得2426x≤≤．因为x为整数，所以242526x，，．因此，加工方案有三种：加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；加工8一般糕点26盒、精制糕点24盒．（2）由题意知，显然精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点24盒、精制糕点26盒时，可获得最大利润．最大利润为：241.526288（元）．例5某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg