基本不等式练习题

1基本不等式练习题一、选择题1．若关于x的不等式4104822xaxx在内有解，则实数a的取值范围是（）A．4aB．4aC．12aD．12a2．若关于x的不等式mxx42对任意]1,0[x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．3mB．3mC．03mD．03mm或3．当x＞1时，不等式x＋11x≥a恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]4．设a0，b0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.145．若x＞0，y＞0，则221＋)(yx＋221＋)(xy的最小值是()．A．3B．27C．4D．296．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是()．A．a＋b＋ab1≥22B．(a＋b)(a1＋b1)≥4C．22abab≥a＋bD．baab2≥ab8.设x、y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4B．43C．9D．169．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112二、填空题：10、当0x时，122xxxf的值域是。11．已知0x34，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为________．12．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．．213．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，xa＋yb＝1，则x＋y的最小值为．14．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则m1＋n2的最小值为．15．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为______．16．求函数12xxxy（x0）的值域为．17.当x为何值时，28(1)1xyxx有最小值为．三、解答题18．求函数y＝1＋10＋7＋2xxx(x＞－1)的最小值．19．若,xy是正数，且1222yx,求21yx的最大值20．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值．21、正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。3基本不等式练习题一、选择题1．若关于x的不等式4104822xaxx在内有解，则实数a的取值范围是（A）A．4aB．4aC．12aD．12a2．若关于x的不等式mxx42对任意]1,0[x恒成立，则实数m的取值范围是（A）A．3mB．3mC．03mD．03mm或3．当x＞1时，不等式x＋11x≥a恒成立，则实数a的取值范围是(D)．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]解：由x＋1－1x＝(x－1)＋1－1x＋1，∵x＞1，∴x－1＞0，则有(x－1)＋1－1x＋1≥21－11－xx)·(＋1＝3，则a≤3．4．设a0，b0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14解析：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝12取等号)．答案：B5．若x＞0，y＞0，则221＋)(yx＋221＋)(xy的最小值是(C)．A．3B．27C．4D．29解析：221＋)(yx＋221＋)(xy＝x2＋22241＋＋＋41＋xxyyyyx＝2241＋xx＋2241＋yy＋xyyx＋．故当且仅当x＝y＝22时原式取最小值4．6．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是(D)．A．a＋b＋ab1≥22B．(a＋b)(a1＋b1)≥4C．22abab≥a＋bD．baab2≥ab解：方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有baab2≥ab不成立．4方法二：可逐项使用均值不等式判断A：a＋b＋ab1≥2ab＋ab1≥2abab12＝22，不等式成立．B：∵a＋b≥2ab0，a1＋b1≥2ab10，相乘得(a＋b)(a1＋b1)≥4成立．C：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－222ba＝222ba，又ab≤2baab1≥ba2，∴22abab≥a＋b成立．D：∵a＋b≥2abba1≤ab21，∴baab2≤abab22＝ab，即baab2≥ab不成立．8.设x、y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4B．43C．9D．16解：由32＋x＋32＋y＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，可解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答：D9．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112解：依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2(x＋1)(2y＋1)＝6，x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4，选B.二、填空题：10、当0x时，122xxxf的值域是1,0。11．已知0x34，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为________．4516解：因为0x34，所以34－x0，所以y＝5x(3－4x)＝20x(34－x)≤20(x＋34－x2)2＝4516，当且仅当x＝34－x，即x＝38时等号成立．12．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．ab≥9．5解：∵ab＝a＋b＋3≥ab2＋3，即ab≥ab2＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，∴(ab)2－ab2－3≥0，∴ab≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)．13．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，xa＋yb＝1，则x＋y的最小值为．(a＋b)2．解析：由已知xay，ybx均为正数，∴x＋y＝(x＋y)(xa＋yb)＝a＋b＋xay＋ybx≥a＋b＋ybxxay·2＝a＋b＋2ab，即x＋y≥(a＋b)2，当且仅当1＝＋＝ybxaybxxay即abbyabax＋＝＋＝时取等号．14．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则m1＋n2的最小值为．8．解：因为y＝logax的图象恒过定点(1，0)，故函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知mn，nm4均为正，∴m1＋n2＝(2m＋n)(m1＋n2)＝4＋mn＋nm4≥4＋nmmn42＝8，当且仅当1＝＋24＝nmnmmn即21＝41＝nm时取等号．15．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为______．解：因为xa，所以2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22(x－a)·2x－a＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.答案：3216．求函数12xxxy（x0）的值域。解：xxxxxy11112∵x0∴xx1≥2∴xx1+1≥3∴]31,0(y17．当x为何值时，28(1)1xyxx有最小值6解：182xxy=1912xx=1x+19x=1x+19x+2，∵x＞1，∴1x＞0，∴y≥29+2=8，当且仅当1x=19x即x=4时，y有最小值8三、解答题18．求函数y＝1＋10＋7＋2xxx(x＞－1)的最小值．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，y＝ttt10＋1－7＋1－2)()(＝ttt4＋5＋2＝t＋t4＋5≥tt42＋5＝9，当且仅当t＝t4，即t＝2，x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．19．若,xy是正数，且1222yx,求21yx的最大值解：因为1222yx所以222xy∴21yx=223xx=）（2223xx=)23(22222xx)2232(2222xx=423当且仅当22223xx，即23x时，21yx有最大值42320．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值．解：∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋axy＋yx＋a≥a＋1＋2a(a0)，∴要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2a≥9，即(a－2)(a＋4)≥0，故a≥2，即a≥4，∴正数a的最小值是4.解：(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a≥a＋1＋2a·xy·yx＝a＋2a＋1，当且仅当a·xy＝yx等号成立，所以(a)2＋2a＋1≥9，即(a)2＋2a－8≥0，得a≥2或a≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C21、正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。证明：∵a+b+c=1∴1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b∵a0，b0，c0∴b+c≥2bc0a+c≥2ac0a+b≥2ac0将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc