复合函数

李向阳专属第1页复合函数复合函数是中学数学里，深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历年高考常考不衰的热点。但高中数学教材未作介绍，而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中，介绍有关内容很有必要。一、复合函数的概念我们常见的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即)(ufy，)(xgu，那么y关于x的函数)]([xgfy叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。例如xy2sin它与xysin不同，不是基本初等函数，而是由三角函数uysin和一次函数xu2经过“复合”而成的一个函数。由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来，得到的形如)()(xgbxfa或)()(xgbxfa的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构作的一个复合映射确定的函数。这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。例如，复合函数xy2sin是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数xy2sin，因此有人说复合函数是函数的函数。为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数)]([xgfy中，称f定义的函数)(ufy为外层函数（外函数），称g定义的函数)(xgu为内层函数（内函数），且称函数)]([xgfy为函数f和g复合一次得到。这里外层函数的映射法则f和内层函数的映射法则g，构作的复合函数的映射法则称为复合映射gf（注意：不能把gf读作“f乘g”，因为复合映射不具有交换律，即fggf，这是复合映射很重要的一个基本特征）。有人形容复合映射gf是具有传递性的两个映射f和g的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。2、从函数定义理解既然函数)]([xgfy可视为函数)(ufy和函数)(xgu复合得到，因此它们都必须符李向阳专属第2页合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求。设函数)(xgu的定义域是D，值域是M；再设)(ufy的定义域是N，值域是R，则RNMD、、、都是非空的数集。从“复合”中我们发现，内层函数)(xgu具有两重性：一方面它是自变量为x的函数，当Dx时，则有Mxg)(；另一方面它又是函数)(ufy的自变量，当Nuxg)(时，则有Rufy)(。要使)(ufy仍然是函数，就要求)(xgu的值域M和)(ufy的定义域N必须有交集（非空数集）。NM∅是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数)(ufy的定义域N，既受到外层函数的映射法则f的制约，又受到内层函数)(xgu的值域M的限定。只看一面，不看另一面就会犯概念的错误。有的同学不加分析地认为，任何两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如)2ln(sinxy，)2arccos(2xy等都不是复合函数，因为uyln是对数函数，定义域N必须符合)(0Nuu，但2sinxu,而1|sin|x，因此12sinx,于是可得}12sin|2{sin}0|{xxuuNM∅,故)2ln(sinxy不能构成复合函数。同理，)2arccos(2xy也不能构成复合函数（它们都不是函数）。据此，反思前面给出的定义，我们发现这个定义是不严谨的，它忽视了构造复合函数)]([xgfy过程中，各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义。为此，我们把定义补充为：如果y是u的函数)(ufy，而u又是x的函数)(xgu，且对于x值所对应的u值，函数)(ufy是有定义的，即)(ufy，Nu，)(xgu，Mxg)(，NM∅，则y关于x的函数)]([xgfy叫做f和g的复合函数。3、从结构特征理解除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外，每一次复合都是把内层函数的整体，作为自变量施行新的映射，这样，像穿衣服一样，从内到外逐次添加映射，直至构造出所需函数。这一独特的发生过程，不仅给出了复合函数的结构特征，使我们能迅速判断已知函数式是不是一个复合函数，而且也使我们明白了，复合函数不是一类新的独立的基本初等函数，而是几个简单函数的特殊构造，因次，我们可以先分析参与复合的简单函数的性态，来研究复合函数的相应属性。4、从穿脱原理理解穿脱原理是复合函数与简单函数相互转化的工具，由它可将简单函数构造成复合函数，也可将复合函数分拆为简单函数。李向阳专属第3页先看复合，例如由uy3，vusin，xv，欲得到复合函数，可从外层函数开始，逐次代换添加映射，每代换一次增加一个映射，即xvuysinsin333，最后得到y关于x的复合函数xysin3。一般地，由)(ufy，)(vgu，)(xv的复合过程可记为)]([)(vgfufy)]}([{xgf。再看分拆，例如函数211sinlnxy可以从外层函数开始逐层分拆为简单函数，每拆一层，设一个中间变量，即最外层函数记为uyln，第二层记为vusin，第三层记为21tv，第四层记为21xt。上述多次令中间变量进行的代换，叫做连续代换或锁链代换，实质上是换元法。穿脱原理从发生过程深化了复合函数的概念，在复合函数的性态研究中，具有重要作用。例如求复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、极值、反函数时都需要它，一些重要运算，如求导、微分等更要依靠它。二、复合函数的简单性质在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？和常见的基本初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值与最值。探讨过程中，最关键的是要注意复合映射的多层制约，是否使复合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。1、求定义域因为多层复合映射结构复杂，所以使得求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下。（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的定义域。将已知复合函数正确地拆成几个常见的简单函数，根据使函数解析式有定义的要求，由外到内，列出所有限制条件对应的不等式，所得不等式组的解集就是复合函数的定义域。①求函数))1((loglog2221xy的定义域。解：要使函数))1((loglog2221xy有意义，须满足0))1((loglog2221x（使根式有意义），0)1(log22x（使对数有意义），012x（使对数有意义），解得01x或10x，故所求函数的定义域为]1,0()0,1[。李向阳专属第4页（2）已知函数)(xfy的定义域，求复合函数)]([xgfy的定义域。因为f代表同一映射，只需用代换法则，先将原函数的定义域写成x的不等式，再将x换成中间变量)(xg，解所得不等式即可。②已知函数)(xfy的定义域是]1,0[，求函数)cos(sinxxfy的定义域。解：由题设知，1cossin0xx，即1)4sin(20x，2242kxk，或4)12()12(kxk，Zk。故函数)cos(sinxxfy的定义域是)](4)12(,)12[(]22,42[Zkkkkk。（3）已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域。实质是从已知复合函数中x的取值范围，求出这个复合函数的中间变量的范围（或内层函数的值域）。③已知函数)1lg1(xfy的定义域是]1000,100[，求函数)(xfy的定义域。解：由1000100x得，3lg2x，21lg1x，11lg121x，故函数)(xfy的定义域是]1,21[。2、求函数表达式中学阶段，求复合函数表达式大致可归纳为两种题型，一是已知各层子函数的映射法则，求复合函数的表达式；二是已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。（1）已知中间变量，求复合函数用代换法则像求函数值一样，从内向外逐次将内层函数的表达式，代换外层函数的自变量解出。每次代换只看一层，只代换一个中间变量。函数的映射法则是对自变量单x定义的，故复合函数的表达式最终也须将表达式用单x的运算表示。④已知函数xxf21)(，求函数)]([xff的表达式。解：xxf21)(，xxxxfxff2322121)21()]([（2）已知复合函数，求原函数关键是沟通中间变量与复合函数表达式间的映射关系，找到原函数，用中间变量的整体作自李向阳专属第5页变量的映射法则，常用配凑法、换元法、待定系数法等。⑤已知xxf2cos)1(cos，求)(xf。解：令1cosxt，则1costx，所以2)1()(ttf；1cos1x，01cos2x，即02t，故2)1()(xxf，)02(x。（3）已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式中学只涉及简单的函数方程，因此，关键是将所求复合函数看作未知变量，根据函数方程的结构特征，采用代换方法建立方程组，消元解之。⑥已知bxxfxafnn)()(，其中1a，n为奇数，求函数)(xf。解：由题意可知，令xx，由于n为奇数，故有bxxfxafnn)()(；结合已知条件，可解得1)(abxxfn，又因为1a，n为奇数，故1)(axbxfn。（4）已知复合函数，求与外层函数映射法则相同的另一复合函数先由已知的复合函数求原函数，再由原函数求另一复合函数。⑦已知12)3(2xxxf，求函数)3(xf。解：设3xt,则3tx，有22)2(1)3(2)3()(ttttf，2)2()(xxf；故22)5(]2)3[()3(xxxf。3、求值域在复合函数定义域内，先求出最内层函数的值域，再用它作为中间函数的“自变量”，求出中间函数值域，依次外推直至求出最外层函数的值域。⑧求函数)arccos(sinxy，)323(x的值域。解：323x，1sin23x；又uyarccos是减函数，65)arccos(sin0x故所求函数的值域是)65,0[。4、判断函数奇偶性通常方法是根据奇偶性的定义进行判断，容易产生的一类负迁移是：李向阳专属第6页认为构成复合函数的每层简单函数都要有奇偶性时，复合函数才有奇偶性，这是错误的。例如函数xycoslg，可拆成uylg，xucos，易知外层函数xylg不具有奇偶性，但内层函数xucos是偶函数，由定义可知xycoslg是偶函数。当复合函数各层子函数都有奇偶性时，可用下列法则判断它的奇偶性。定理1当内层函数)(xu为偶函数时，复合函数)]([xfy为偶函数（此时f可为任意函数），简记为“内偶则偶”。定理2当内层函数)(xu为奇函数时，若外层函数)(ufy为奇函数，则复合函数)]([xfy为奇函数；若外层函数)(ufy为偶函数，则复合函数)]([xfy为偶函数，简记为“内奇外奇则为奇”、“内奇外偶则为偶”。5、判断函数单调性通常做法仍然是由函数单调性的定义判断，但若其中某层中间变量没有单调性时，则复合函数无单调性。只有复合函数的各层子函数在定义域上